Dimostrazione proprietà di $+$ su $NN$

[anto_zoolander]

Devo dimostrare tutte le proprietà: commutativa, associativa e dell'esistenza di un elemento neutro su $NN$

intanto so che $sigma(n+m)=((sigma(n)+m)dotvee(n+sigma(m))), foralln,m inNN$

elemento neutro $a+0=a forallainNN$
procedo per induzione su $a$

$p(0): 0+0=0$ vera. Supposta vera per $a=n$ dimostro che è vera per $a=sigma(n)$

$p(sigma(n)): sigma(n)+0=sigma(n) => sigma(n+0)=sigma(n)$ uso ipotesi induttive $n+0=n$ ...

$sigma(n)=sigma(n) => a=a$ tesi.

associatività $(a+b)+c=a+(b+c), forall a,b,cinNN$
procedo per induzione su $c$

$p(0): (a+b)+0=a+(b+0)$ uso dimostrazione precedente e giungo a $a+b=a+b$ vera.

Supposta vera per $c=n$ dimostro per $c=sigma(n)$

$p(sigma(n)): (a+b)+sigma(n)=a+(b+sigma(n))$ ... $(a+b)+sigma(n)=sigma((a+b)+n)$

uso ipotesi induttive $(a+b)+n=a+(b+n)$

$sigma(a+(b+n))=a+sigma(b+n)=a+(b+sigma(n))=a+(b+c)$ tesi.

commutatività $a+b=b+a, foralla,b,cinNN$
io l'ho dimostrata in un modo, ovvero procedendo su induzione solo su $b$ e dopo controllando ho visto che alcuni lo dimostrano per induzione su entrambi. Ma ha senso?

$p(0): a+0=0+a$ vera per la prima dimostrata. Quindi supposta vera per $b=n$ dimostro per $b=sigma(n)$

$p(sigma(n)): a+sigma(n)=sigma(n)+a$ ... $a+sigma(n)=sigma(a+n)$

uso ipotesi induttive $a+n=n+a => sigma(a+n)=sigma(n+a)$

$sigma(n+a)=sigma(n)+a=b+a$ tesi.


Non penso di aver commesso errori, però non avendo le soluzioni sul manuale di Algebra, chiedo a chi sa più di me

[garnak.olegovitc]

elemento neutro $a+0=a forallainNN$
procedo per induzione su $a$

$p(0): 0+0=0$ vera.

perché é vera? Qui non hai alcuna "eventuale" ipotesi induttiva come invece scrivi dopo (anche se non capisco il dopo lo stesso), non si capisce bene insomma (se fossi in un monoide é vera... ma qui si chiede ed hai altro)

Supposta vera per $a=n$ dimostro che è vera per $a=sigma(n)$

$p(sigma(n)): sigma(n)+0=sigma(n) => sigma(n+0)=sigma(n)$ uso ipotesi induttive $n+0=n$ ...

bhe´, qui dovresti usare la def. ricorsiva dell´addizione tra numeri naturali (anche nel primo caso in realtá dovresti esplicitare qualcosa usando la def.)...

[anto_zoolander]

Le altre sono corrette?

Per quanto riguarda l'elemento neutro, ci ho riflettuto un po' sull'effettiva utilità di usare $p(0)$ come ipotesi induttiva.
Certamente $p(0)$ è vera, lo è anche $p(1): 1+0=1$ quindi posso supporlo vero per $a=n$

Da quì $p(sigma(n)): sigma(n)+0=sigma(n)$ procederei come prima, oppure sfruttando $sigma(n)=(n+1)$

$sigma(n)=(n+1)+0=(n+0)+1=n+1=sigma(n)$

Peró quì utilizzo la commutativa e l'associativa senza averle dimostrate.

[garnak.olegovitc]

ci ho riflettuto un po' sull'effettiva utilità di usare $p(0)$ come ipotesi induttiva.

\(p(0)\) come ipotesi induttiva? non capisco che vuoi dire...

Certamente $p(0)$ è vera, lo è anche $p(1): 1+0=1$ quindi posso supporlo vero per $a=n$

per dire che é vera ti manca un passaggio, é come se stai dimostrando alcune proprietá e lo fai sapendo a priori che \(a+0=a\) quindi non puó essere diversamente (io lo vedo cosí il tuo ragionamento)

-- vediamo se \(a+0=0\) con \(a=0\) é vera, considera \(0+0\) e considera la def. ricorsiva dell´addizione in \(\Bbb N\) ergo \(0+0=0\) QED
-- supponiamo sia vera per \(n\), vediamo se \(a+0=0\) con \(a=\sigma(n)\) é vera, considera \(\sigma(n)+0\) e considera la def. ricorsiva dell´addizione in \(\Bbb N\) ergo \(\sigma(n)+0=\sigma(n+0)\) ma per ipotesi é vera per \(n\) ergo \(\sigma(n)+0=\sigma(n+0)=\sigma(n)\) QED
In conclusione é vera ogni numero naturale quella proprietá!

[anto_zoolander]

ti riferisci al fatto che supponga vero che $0+0=0$(o anche $1+0=1$) senza effettivamente averlo dimostrato?

[garnak.olegovitc]

ti riferisci al fatto che supponga vero che $0+0=0$ senza effettivamente averlo dimostrato?

si, come anche a questo:

$ p(sigma(n)): sigma(n)+0=sigma(n) => sigma(n+0)=sigma(n) $ uso ipotesi induttive $ n+0=n $ ...

$ sigma(n)=sigma(n) => a=a $ tesi.

[anto_zoolander]

La seconda è diretta conseguenza del primo scivolone, che mi sono portato dietro.
Mi rendo conto dell'errore commesso nel primo passaggio.
Per dimostrare che $0+0=0$ basta quindi la ricorsività di $+$?



Aggiungo una perplessità(medio/lunga) che ho.
Metto sotto spoiler(visto che è OT) anziché aprire un altro topic.

Testo nascosto, fai click qui per vederlo

Quando definisco l'insieme $ZZ$ attraverso questi procedimenti:

$(n,m)R(n'm') <=> n+m'=m+n'$

$overline{(n,m)}={(n',m')inNNtimesNN:(n',m')R(n,m)}$

$ZZ=(NNtimesNN)/R={overline{(n,m)}:(n,m)inNNtimesNN}$

dopo aver visto che $R$ è una relazione di equivalenza definita su $NNtimesNN$ ho dimostrato che $ZZ$ è una partizione di $NNtimesNN$ si è definito:

$ZZ^+ ={overline{(n,0)}:ninNN}$
$ZZ^(-) ={overline{(0,m)}:m inNN}$
${0}=overline{(0,0)}$

$ZZ=ZZ^(-) cup{0}cupZZ^+$

ora è facile dimostrare che $(n,0)R(n',0') <=> n+0=0+n' => n=n'$
e $(0,m)R(0,m') <=> 0+m'=m+0 => m'=m$

Se $ZZ$ è l'insieme quoziente di $NNtimesNN$ modulo $R$, rimangono definite in maniera naturale le proprietà di $(+,*)$ su $ZZ$ oppure vanno ulteriormente dimostrate? Perché in caso negativo la affermazione di sopra si rimanda al momento in cui si dimostrerà l'elemento neutro rispetto alla somma.

appurato questo, si nota con quei due passaggi che se due elementi di $ZZ^+$ o $ZZ^-$ sono in relazione, allora sono uguali. Quindi viene meno l'ambiguità e possiamo considerare $overline{(n,0)}=(n,0)$ e $overline{(0,m)}=(0,m)$

si definiscono la somma $(n,m)+(n',m')=(n+n',m+m')$
e il prodotto $(n,m)*(n',m')=(n*n'+m*m',n*m'+n'*m)$

adesso mi arrivano queste, che non ho accettato in maniera felice:

$(n,0)=n$ e $(0,m)=-m$

queste due definizioni sono diretta conseguenza di qualcosa? cioè a questo punto non sarebbe meglio definire il numero $(0,1)=-1$ e considerare $(m,0)(0,1)=(0,m)$ un po' come nei $CC$? per poi magari dimostrare che $-1*m=-m,forallm inZZ$

[G.D.]

Calma.

Una cosa alla volta.
Dato che qui si stanno costruendo gli insiemi numerici, le operazioni in essi e di queste se ne stanno stabilendo le proprietà, la prima cosa da fare è chiarire cosa abbiamo e cosa no. Altrimenti è normale che è tutto confusionario.

Punto numero 1. Come è stato introdotto \( \mathbb{N} \).
Lo so che può sembrare una domanda inutile ma... rispondi a questa domanda e poi ti spiego perché te l'ho fatta.

[anto_zoolander]

Calma.

Una cosa alla volta.
Dato che qui si stanno costruendo gli insiemi numerici, le operazioni in essi e di queste se ne stanno stabilendo le proprietà, la prima cosa da fare è chiarire cosa abbiamo e cosa no. Altrimenti è normale che è tutto confusionario.

Punto numero 1. Come è stato introdotto \( \mathbb{N} \).
Lo so che può sembrare una domanda inutile ma... rispondi a questa domanda e poi ti spiego perché te l'ho fatta.

Allora.. Io ho studiato la costruzione di $NN$ mediante gli assiomi di Peano, quindi è stato introdotto dichiarando che:

• $NN$ è non vuoto poiché $0inNN$

• è definita su $NN$ una funzione 'successore'
- $n nem => sigma(n)nesigma(m)$ in particolare $f$ è iniettiva
- non esiste un numero il cui successore sia $0$

• sia $SsubseteqNN$ un insieme non vuoto con le seguenti proprietà
- $0inS$
- $kinS => sigma(k)inS$
allora $S=NN$

È stato introdotto con l'assegnazione dell'elemento $0$ e attraverso la funzione $sigma(n)$ si ricavano tutti gli altri.
In particolare poi si denota l'unicità di $(NN,0,sigma)$ con l'ultimo assioma.

Testo nascosto, fai click qui per vederlo

per le operazioni definite su $ZZ$, essendo i numeri definiti come coppie di numeri naturali, ovvero $(n,m)$ e definita la somma come $(n,m)+(p,q)=(n+p,m+q)$ ricordo che $(n+p)inNN$ e $(m+q)inNN$ quindi certamente tra loro valgono tutte le proprietà dei naturali. Il pensiero me lo pongo quando voglio dire che $(n,m)+(p,q)=(p,q)+(n,m)$ e me la risolvo così:

$(n+p,m+q)=(p+n,q+m)$ essendo $n+p$ un numero appartenente ai naturali, valgono tutte le proprietà sui naturali e quindi $n+p=p+n$ e così per tutti gli altri. (per come l'ho pensata io)

[G.D.]

OK.

Solo alcune precisazioni.

Se \( \mathbb{N} \) viene introdotto con gli Assiomi di Peano, tecnicamente non viene costruito, viene per l'appunto presentato assiomaticamente: cioè tu assumi assiomaticamente che esista una terna \((\mathbb{N}, 0, \sigma)\) che verifica quei tre assiomi. Poi si può dimostrare l'equivalenza tra l'esistenza di una terna di Peano e l'assioma dell'infinito.

Si dimostra poi che la terna di Peano è unica ma non nel senso che è presente una sola ed unica terna di Peano ma nel senso che, se esiste un'altra terna di Peano, allora tra le due terne di Peano esiste un'unica applicazione biunivoca che "conserva" lo \( 0 \) e l'applicazione \( \sigma \).

Numero 2. La terza proprietà è il principio di induzione vero e proprio e manca un \( \forall k \in S \).

Te l'ho chiesto perché provando l'equivalenza tra l'esistenza di una terna di Peano e l'assioma dell'infinito si prova in pratica che accettando la Teoria degli Insiemi si può, per così dire, "partire in quarta" e iniziare direttamente con un modello dei numeri naturali costruito a partire dall'assioma dell'infinito. Si prende cioè l'assioma dell'infinito e si fa l'intersezione su tutti gli insiemi che lo rispettano ottenendo un insieme minimo rispetto all'intersezione. Tale insieme è quello dei numeri naturali. In tal modo quelli che sono gli assiomi di Peano diventano come dei corollari dell'assioma dell'infinito applicato all'insieme appena ottenuto.

Oppure si potrebbe costruire \( \mathbb{N} \) a partire dall'ordine senza effettivamente costruirlo: si potrebbe cioè provare che esistono degli insiemi detti naturalmente ordinati e che dati due insiemi naturalmente ordinati esiste una ed una sola applicazione biettiva tra essi che conserva l'ordine, sicché lavorare su di uno piuttosto che su di un altro è irrilevante e allora scelto e fissato una volta per tutte un insieme naturalmente ordinato, tale insieme è quello dei numeri naturali.

Ed esistono anche delle varianti nella costruzione di \( \mathbb{N} \) a partire dall'assioma dell'infinito.
Ovviamente alla fine sono tutte costruzioni equivalenti.

Ciò detto, l'addizione com'è definita?