Equazione differenziale?

[curie88]

Ciao, @Bossmer, grazie per la risposta,
Non sono sicuro che deve essere $v(t) = at$, $a$ potrebbe non essere costante...
Il problema è trovare proprio questo parametro $a$.
La formula che ho postato l' ho ricavata per "induzione", ma in effetti anche se, pare palese funzionare per tempi interi $t$, questo non garantisce che funzioni pure per tempi frazionari.( $k=t$, solo per tempi interi? )
Dato che, ho imposto che per tempi $t$ interi deve necessariamente essere:
$v(1) = 1 m/s$
$v(2) = 3 m/s$
sostituendo nella formula da te data $v(t) = k(t+1)/2$:
$v(1) = k(1+1)/2 = 1, -> k = 1$
$v(2) = k(2+1)/2 = 3, -> k = 2$
e quindi sembrerebbe che anche l'accelerazione, vari, dato che $k$, non è costante, per i valori assegnati...

[Bossmer]

Ok in effetti è vero, allora analizziamo meglio il problema, che in particolare dice che:

L'autista accelera, aumentando la velocità di una quantità proporzionale al tempo passato(dal cronometro).

Ovvero sta dicendo che $$\Delta V=k t$$ dove $k$ è per forza costante, altrimenti se $k$ dipendesse dal tempo, non avresti che $\Delta V$ è proporzionale al tempo.
Per i dati che hai inoltre scopri che $k=1$ infatti è verificato che $$2=v(2)-v(1)=k*2$$ quindi $k=1$ inoltre $$3=v(3)-v(2)=a*3$$ quindi $k=1$ e tutto torna.

Quindi abbiamo scoperto senza accorgercene che l'accelerazione media $a_m(t)=\gamma t$ dove appunto $\gamma=1$ Quindi è vero che l'accelerazione non è costante.
Come vedi non era necessario infangarsi in strane equazioni differenziali (e questo prendilo come principio per lo studio)...

[curie88]

Secondo me andava risolto cosi':

$v'(t) = kt+c$
$\int v'(t)dt = \int(kt+c)dt$

$v(t) = kt^2/2 + ct + c'$

Impongo:
$v(1) = 1; v(2) = 3; v(3) = 6$

e trovo le tre costanti:

$c' = 0, c = 1/2, k = 1$

$v(t) = t^2/2 + t/2 = t(t+1)/2$

anche qui "sembra" che tutto torna...

[Bossmer]

Eh no perché il problema dice che $\Delta V=at$ non dice affatto che $v'=at+k$

[curie88]

@Riformulo la risposta, in quanto ero di fretta, nel momento che l' ho scritta.

Eh no perché il problema dice che $\Delta V=at$ non dice affatto che $v'=at+k$

D'accordo, è evidente, dati i valori del problema che è come dici: $\Delta V = kt$, d'altra parte questo l'avevo notato pure io.

La richiesta è che assegnate delle velocità, al variare del tempo $t$ (per esempio tre, calcolate nei tempi $t$ interi rispettivamente: $1,2,3$), $v(1) = 1 m/s, v(2)=3 m/S, v(3) = 6 m/s$, occorre trovare, la funzione che esprima la velocità in funzione del tempo. Supposto ciò, viene da se, che è $\DeltaV = kt$.

Ma $\Delta V$ non è chiaramente $V(t)$, ed è proprio qui la mia difficoltà, per cui ho postato la domanda in Analisi e non in Fisica.

Supposto $\Delta V$ un infinitesimo di $v(t)$, integrandolo otterrei $v(t)$?

Se fosse cosi' otterrei:

$v(t) = kt^2/2 + c$

Ma sostituendo i valori assegnati, mi rendo subito conto che non c' è corrispondenza, quindi o non si può integrare in questo modo, o siamo partiti male...,ma credo più vera la prima.

[Bossmer]

In realtà devi imporre che la funzione velocità sia monotona ( in particolare monotona strettamente crescente) e derivabile in ogni punto, altrimenti le soluzioni sono sicuramente infinite ed arzigogolate.

In secondo luogo anche con la monotonia, avendo solo tre punti rimangono infinite le funzioni che vi passano attraverso, prendiamo banalmente i polinomi, sai bene che per 2 punti passa una e una sola retta, per 3 punti passa una e una sola parabola e così via... Adesso immagina di avere due soli punti, è chiaro che li in mezzo ci passa una retta, ma ci potrebbe passare anche una parabola, o un cubo, o un polinomio di grado maggiore.
Nel tuo caso hai 3 punti, attraverso i quali si verifica immediatamente che non passa alcuna retta, ma come sai bene passa una sola parabola; ora però altrettanto bene ci potrebbe passare un cubo, o un polinomio di grado maggiore.
Non so se mi segui...

Ora immagina invece che attraverso quei 3 punti ci passasse invece una retta, se tu chiedi che la funzione sia monotona strettamente crescente, derivabile in ogni punto e a concavità fissa (cioè sempre concava o sempre convessa fra quei punti), allora sei sicuro che l'unica funzione che passa attraverso quei tre punti rimanendo monotona e derivabile è la retta che li congiunge...
Lo stesso discorso lo puoi estendere per i polinomi di grado maggiore...
Questo per dirti che 3 punti sarebbero sufficienti nel caso in cui la velocità cresca linearmente col tempo, in quel caso concludi che l'unica funzione derivabile e strettamente monotona e a concavità fissa che li congiunge è la tua retta.

Dato che non siamo in questo caso puoi concludere che :
- $v$ non è un polinomio di primo grado.
- se $v$ è un polinomio di secondo grado allora è unico.
- esistono infiniti polinomi di grado 3 che passano per quei tre punti;
- esistono infiniti polinomi di grado 4 che passano per quei tre punti;
- esistono ... insomma hai capito l'antifona.

Questo solo nel caso dei polinomi, potrebbero esistere funzioni complicatissime che passano per quei tre punti... Molte di queste funzioni vengono escluse grazie al'ipotesi di STRETTA monotonia nell'intervallo $(0,+\infty)$ e altre ancora grazie all'ipotesi di derivabilità e altre ancora grazie all'ipotesi di concavità fissa, sempre nel medesimo intervallo; però non è da escludere che potrebbero esisterne altre.

Diversa sarebbe la faccenda se avessi 4 punti e dimostrassi che tali punti appartengono ad una parabola, in quel caso sempre con le due ipotesi supplementari che ormai avrò ripetuto 5 volte, l'unica curva "in grazia di Dio" che li attraversa è la parabola trovata.

[curie88]

Si ti ringrazio, dubitavo si potesse ottenere una soluzione univoca solamente con quei parametri...ora ho la conferma!