Successionie in formula chiusa

[dan95]

Trovare la formula chiusa della successione:
1,2,2,3,3,3,4,4,4,4,5,5,5,5,5,6,6,6,6,6,6,7,7,7,7,7,7,7,ecc...

Con formula chiusa intendo dire un'applicazione $f: NN^{*} \mapsto RR^{NN}$ che associa ad ogni naturale positivo $n$ il termine $n-esimo$ della successione. Esempio:
0,2,6,12,20,...
Formula chiusa: $a_n=n^2-n$

[orsoulx]

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$ a_n=\ceil \frac {|__ \sqrt(8n)__|} 2 $

Ciao
B.

[.Ruben.]

L'avevo postato io un po'di tempo fa su youmath

Va bene anche \( \displaystyle a_{n}=[\frac{1+ \sqrt{8n-7}}{2}] \)

Si dimostra con delle disuguaglianze, magari lo posto dopo

[dan95]

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Bello l'ho preso da un altro forum

[.Ruben.]

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l'ho dimostrato risolvendo l'equazione di secondo grado $a_n^2+a_n+2(1-n)=0$ e aggiustando le parti intere

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Ricontrolla quell'equazione
Già con \( \displaystyle a_{n}=1 , ~ n=1 \)
non funziona

Io usato la disuguaglianza
\( \displaystyle \frac{a_{n}(a_{n}-1)}{2}+1 \leq n \leq \frac{a_{n}(a_{n}+1)}{2} \)

Trasformandola in un sistema di disequazioni, dopo opportuni calcoli ottengo

\( \displaystyle \frac{-1+\sqrt{1+8n}}{2} \leq a_{n} \leq \frac{1+ \sqrt{8n-7}}{2} \)

Ora, creo una funzione \( \displaystyle f : \mathbb{N} \to \mathbb{R} \)
che mi valuta la differenza tra i due estremi della disuguaglianza

\( \displaystyle f(n) = \frac{1+ \sqrt{8n-7}}{2} - \frac{-1+\sqrt{1+8n}}{2} \)

Questa funzione, strettamente crescente, per \( \displaystyle n \geq 1 \)
assume sempre valori \( \displaystyle \geq 0 \)

Inoltre, il limite a \( \displaystyle + \infty \) vale 1

Per cui, nell'intervallo che ci interessa \( \displaystyle [1; + \infty) \)
la funzione è compresa tra 0 e 1

Per questo motivo per valutare \( \displaystyle a_{n} \) possiamo usare la funzione parte intera(come da definizione) sul membro di destra della disuguaglianza

e il tutto diventa \( \displaystyle a_{n}=
[ \frac{1+\sqrt{8n-7}}{2}] \)
dove [x] è la parte intera di x

[dan95]

Più che altro è una disuguaglianza più che un uguaglianza

[.Ruben.]

Sì
in effetti quella parte intera è giustificata dalle disuguaglianze e dal fatto che la differenza tra gli estremi è minore di 1

Alla fine era un bell'esercizio, tra l'altro ho scoperto che la successione è famosissima