Funzione composta non derivabile

[Lory9618]

Sia $f(x) = x^2$, per quale funzione $g(t)$ si ha che la funzione composta $f o g$ non è derivabile in $t_0=0$?

a) $g(t) = |t|^(1/2)$
b) $g(t) = t^3$
c) $g(t) = |t|$
d) $g(t) = |t-1|$

Purtroppo non saprei come partire per verificare o confutare le possibilità

[singularity]

Una funzione è derivabile in un punto se e solo se esiste, finito, il limite del rapporto incrementale della funzione in quel punto. Componi f e g e controlla per quale funzione questo limite (finito!) non esiste

[Mino_01]

In effetti funzione composta di funzioni derivabili è sempre derivabile ...

Da cui il teorema va in difetto quando una delle funzioni componenti è non derivabile ...

In questo caso ... come suggerito, .. va esaminato direttemante il limite del rapporto incrementale ...


...

[Lory9618]

Quindi devo studiare i limiti?

$
lim_(t->0) (|t^(1/2)|)^2
$
$
lim_(t->0) (t^3)^2
$
$
lim_(t->0) (|t|)^2
$
$
lim_(t->0) (|t-1|)^2
$

[singularity]

Esattamente.

[Palliit]

Quindi devo studiare i limiti?...

Studiare quelli che hai scritto non ti serve a nulla per verificare la derivabilità in $t=0$.

Se scrivi le quattro composizioni vedi abbastanza a occhio qual è l'unica non derivabile. Se non lo vedi a occhio devi studiare il limite del rapporto incrementale, non della funzione.

[singularity]

Si, ha ragione Palliit (scusate ma la stanchezza ha colpito )

[Lory9618]

Quindi devo studiare i limiti?...

Studiare quelli che hai scritto non ti serve a nulla per verificare la derivabilità in $t=0$.

Se scrivi le quattro composizioni vedi abbastanza a occhio qual è l'unica non derivabile. Se non lo vedi a occhio devi studiare il limite del rapporto incrementale, non della funzione.

Come fa a notarlo "ad occhio"?

[axpgn]

$(t^3)^2=t^6$ è derivabile in tutto $RR$ e credo non ci siano dubbi, ok?

$|t|^2$ quando $t>0$ è un ramo di parabola, quando $t<0$ è lo stesso ramo di parabola "riflesso" dall'asse $y$ quindi il "raccordo" dei due rami nel punto $0$ è "liscio", non angoloso ... in pratica entrambe le derivate dei due rami tendono a zero avvicinandosi a quel punto ...

$|t-1|^2$ vale quanto detto sopra (basta pensare a $t-1=w$) ... è solo "spostata" ...

Mentre la prima, se la elevi al quadrato, ti ritrovi la funzione modulo ovvero $(sqrt(|t|))^2=|t|$ che è un classico esempio di funzione continua ma non derivabile in tutto il dominio (ovvero il punto zero è un punto angoloso).

Cordialmente, Alex

[Lory9618]

Chiaro e semplice, perfetto!
Grazie e buona giornata