Trovare un'espressione del vettore di Poynting e dimostrare che il suo flusso nella regione tra le piastre è pari alla variazione dell'energia immagazzinata nel condensatore.
Allora per calcolare il vettore di Poynting ho bisogno di ricavare il campo elettrico e il campo magnetico nella regione tra le due piastre.
Campo elettrico
Il campo elettrico tra le due piastre ha espressione:
\(E_0=\frac{\sigma}{\varepsilon_0}\)
dove in questo caso
\(\sigma=\frac{Q}{A}=\frac{Q}{\pi b^{2}}\)
Dunque il campo elettrico è:
\(E_0=\frac{Q}{\pi b^2\varepsilon_0}\)
Campo magnetico
Per trovare il campo magnetico utilizziamo la Legge di Ampere-Maxwell
\(\oint \overrightarrow{B_0}\cdot d\overrightarrow{l}=\mu_0(I_c+\varepsilon_0\frac{d\Phi(E_0)}{dt})\)
Ovviamente in questo caso non ci sono correnti concatenate e la legge di Ampere-Maxwell si riduce a:
\(\oint \overrightarrow{B_0}\cdot d\overrightarrow{l}=\mu_0\varepsilon_0\frac{d\Phi(E_0)}{dt}\)
Devo quindi calcolare la variazione del flusso del campo elettrico.
Calcoliamo il flusso che sarà:
\(\Phi(E_0)=\int_A \overrightarrow{E_0}\cdot d\overrightarrow{A}=\frac{Q}{\pi b^2\varepsilon_0}\int_A dA= \frac{Q}{\varepsilon_0}\)
Dunque la variazione di flusso sarà:
\(\frac{d\Phi(E_0)}{dt}=\frac{dQ}{\varepsilon_0dt}=\frac{I}{\varepsilon_0}\)
E quindi a secondo membro nell'equazione di Ampere-Maxwell avremo:
$\mu_0I $
Calcoliamo ora l'integrale curvilineo a primo membro.
Consideriamo una circonferenza di raggio b . Le linee di campo del campo magnetico saranno tangenti a tale circonferenza e pertanto:
\(\oint \overrightarrow{B_0}\cdot d\overrightarrow{l}= \oint B_0\hat{n}\cdot dl\hat{t}=B_0\oint dl=B_0 2 \pi b\)
Eguagliando i due membri e risolvendo a $B_0$ avremo dunque:
\(B_0=\frac{\mu_0 I}{2\pi b}\)
Il modulo vettore di Poynting sarà pertanto:
\(S= \frac{1}{2} \frac{E_0 B_0}{\mu_0}= \frac{QI}{4 \pi^2 b^3 \varepsilon_0}\)
Mentre per quanto riguarda il verso, se consideriamo una terna ortonormale levogira, con il campo magnetico nella direzione delle y positive, il campo elettrico delle x negative, allora per la regola della mano destra il vettore \(\overrightarrow{S}\) sarà orientato in direzione delle z negative:
\(\overrightarrow{S}=-\frac{QI}{4 \pi^2 b^3 \varepsilon_0}\hat{k}\)
Calcoliamo il flusso nella regione tra le due piastre, ovvero devo considerare il cilindro di volume $ V=\pib^2d $.
Calcolo la divergenza del vettore di Poynting:
\(\overrightarrow{\nabla}\cdot\overrightarrow{S}=-\frac{QI}{4 \pi^2 b^3 \varepsilon_0}\)
Pertanto il suo flusso sarà:
\(\int_V \overrightarrow{\nabla}\cdot\overrightarrow{S}dV=-\frac{QI}{4 \pi^2 b^3 \varepsilon_0}\int_VdV=-\frac{QId}{4 \pi b \varepsilon_0 }\)
Ora l'energia immagazzinata nel condensatore è:
\(U=\frac{1}{2}\varepsilon_0 E_{0}^{2}\)
Adesso ricordando che il campo elettrico è pari a :
\(E_0=\frac{Q}{\pi b^2\varepsilon_0}\)
Allora il suo quadrato sarà:
\(E_{0}^{2}= \frac{Q^2}{\pi^{2} b^4\varepsilon_{0}^{2}}\)
Facendone la derivata otteniamo:
\(\frac{dU}{dt}= \frac{1}{2} \frac{dQ^2}{\pi^2 b^4 \varepsilon_0dt}= \frac{I}{\pi^2 b^4 \varepsilon_0}\)
Che però non è uguale al flusso del vettore di Poynting
Qualcuno sa dirmi dove sbaglio?
Grazie
