Dimostrare che una successione è decrescente

[alemaddi]

Buonasera!
Qualcuno saperebbe dirmi come dimostrare che la seguente successione è decrescente?
Ho provato calcolando la derivata ma non riesco

Grazie!

$a_n = log(n+1)/(2-n)$

[quantunquemente]

non ci riesci perchè non è vero
il numeratore della derivata della funzione $f(x)=(ln(x+1))/(2-x)$ è $(2-x)/(x+1)+ln(x+1)$ e tende a $+infty$ per $x rarr+infty$
quindi sicuramente $f'(x)>0$ in un intorno di $+infty$

[herstein]

Ciao, la successione che tu hai dato è crescente, poiché

Per essere crescente
$ ln(1+n)/(2-n) $ deve essere minore di $ a(n+1)=ln(1+n+1)/(2-(n+1) $ ovvero
$ a(n+1)=ln(2+n)/(1-n) $ .
$ ln(1+n)/(2-n) <ln(2+n)/(1-n) $ , questo implica che $ (1-n)ln(1+n) <ln(2+n)(2-n) $ (sfruttando la proprietà dei logaritmi)
$ ln(1+n)^(1-n) <ln(2+n)^(2-n) $ ( per l'iniettività dei logaritmi)
$ (1+n)^(1-n) <(2+n)^(2-n) $ , sfrutto la proprietà delle potenze,
$ (1+n)^(1-n+1-1) <(2+n)^(2-n) $ questo posso scriverlo anche cosi:
$ (1+n)^(2-n)*1/(1+n) <(2+n)^(2-n) $ portando tutte le potenze n-2esime a destra ottengo:
$ ((1+n)/(2+n))^(2-n) <n+1 $ .
A questo punto non abbiamo problemi in quanto il membro di destra è sempre minore di uno (in quanto il denominatore è più grande del denominatore), mentre il membro di sinistra è sempre maggiore di 1.
L'unica pecca che ho notato nella dimostrazione precedente, è il fatto che non riesci a capire per quali valori di n la funzione cresce, in questa siamo sicuri che la funzione cresce sempre (in quanto non abbiamo messo alcun vincolo su n).

[anto_zoolander]

$lim_(n -> 2^+) a_(n)=-oo$

@herstein

[Raptorista]

non ci riesci perchè non è vero

Questo è vero

quindi sicuramente $ f'(x)>0 $ in un intorno di $ +infty $

Questo è irrilevante, sia perché la successione potrebbe essere definita solo per \(n > \tilde n\) (dettaglio) sia perché, e questo è importante, è possibile campionare una successione decrescente da una funzione liscia con derivata non sempre negativa.

Ciao, la successione che tu hai dato è crescente, poiché
$ lim_(n -> 2^+) a_n=-oo $

Questo limite non ha senso, \(n = 2\) non è di accumulazione per \(\mathbb N\).

In ogni caso basta far vedere che \(a_3 < 0\) e \(a_n \to 0^-\). Ancor più semplice, \(a_4 > a_3\).

[quantunquemente]

Questo è irrilevante

non mi sembra proprio visto che ci assicura la stretta crescenza della funzione da un certo $x$ in poi e quindi della successione da un certo $n$ in poi

[Raptorista]

Questo è irrilevante

non mi sembra proprio visto che ci assicura la stretta crescenza della funzione da un certo $x$ in poi e quindi della successione da un certo $n$ in poi

Non so perché ma avevo letto (e risposto) come se avessi scritto "in un intorno di 0". :S

Chiaramente la tua motivazione è corretta.

[alemaddi]

grazie a tutti!