Ci provo.
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Non ne esistono.
Supponiamo che $b$ sia uno zero di $f$. Allora otteniamo
$$f(a)=f(a)-b$$
cioé l'unico zero possibile per $f$ è $b=0$. Ora fissiamo $a$ e prendiamo $b=f(a)$:
$$f[a+f(f(a))]=0$$
cioé $a+f(f(a))$ è uno zero di $f$, perciò deduciamo che $f(f(a))=-a$ per ogni $a$. In particolare $f \circ f$ è una biezione, quindi $f$ lo è.
Ora, considerando $a=x, b=f^{-1}(y)$, si ottiene
$$f(x+y)=f(x)-f^{-1}(y)$$
ma, poiché, $f^{-1}(y)=-f (y)$ (basta applicare $f$ due volte e ricordare che $f \circ f = -Id$)
$$f(x+y)=f(x)+f(y).$$
Ora, siccome, per $m, n$ naturali,
$$f(n)=n f(1), \ f(-m) = mf(-1)$$
si distinguono due casi, da cui troviamo un assurdo ricordando che $f \circ f = -Id$, e in particolare $(f \circ f)(1) = -1$:
$1.$ Se $f(1) >0$ o $f(-1)<0$, allora $f(n)>0$, $f(-n)<0$ per qualsiasi $n$ naturale. Supponendo ad esempio che valga la prima delle due condizioni, si ha un assurdo con $f(f(1))=-1$
$2.$ Se $f(1)<0$ e $f(-1)>0$, si ha che tutti i positivi vengono mappati in negativi e viceversa, assurdo perché, da $f \circ f(1) = -1$, deduciamo che $1$ viene mappato in un negativo che dev'essere a sua volta mappato in $-1$.