Trovare \(f \in L^1 (\mathbb{R})\) tale che \(M f \notin L^1 _{\text{loc}}(\mathbb{R})\)

[Delirium]

Data \(f \in L^1_{\text{loc}}(\mathbb{R}^n)\), definisco \[Mf(x) := \sup_{r > 0} \frac{1}{|B(x,r)|} \int_{B(x,r)} |f(y)| \, dy. \]Trattasi dell'Hardy-Littlewood maximal function.

Esercizio. Posto \(n=1\), trovare una funzione \(f \in L^1 (\mathbb{R})\) tale che \(M f \notin L^1_{\text{loc}} (\mathbb{R}) \).

[dissonance]

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La funzione \(f(x)=|x|^{-1}|\log |x||^{-2}\mathbf{1}_{|x|<\frac12}\) è un esempio. Infatti \(f\in L^1(\mathbb R)\), perché
\[
\int_{|x|<\frac12} \frac{dy}{|y| \log^2(|y|)}= \frac{2}{\log 2}<\infty,
\]
e si ha, per \(0<x<\frac12\),
\[
Mf(x)\ge \frac1{2x}\int_0^x \frac{dy}{y \log(y)^2} = \frac{1}{2x|\log x|}=g(x). \]
La funzione \(g(x)=(2|x||\log|x||)^{-1}\mathbf{1}_{|x|<\frac12}\) non è integrabile in nessun intorno di \(0\).

[Delirium]

Certo. Mi sa che questo è un classicone, come (contro)esempio.

[dan95]

Ci provo ma non sono sicuro...

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$f(y)=e^{-y^2}$?

[Delirium]

@dan95:

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Mi sa di no: in \(\mathbb{R}\) si ha \( B(x,r) = (x-r, x+r)\) con \( r > 0 \). Posto \(f(x) =e^{-x^2} \) si avrebbe \[ \frac{1}{2 r } \int_{x - r}^{x+r} e^{-y^2} \, dy = e^{-c^2} \le 1 \] con \(c \in (x-r,x+r)\), donde \( M f(x) \le 1 \in L^1_{\text{loc}} (\mathbb{R})\).

[dan95]

Sì infatti nessuna funzione $f \in C^0(RR)$ va bene perché possiamo applicare il teorema della media integrale. Ci penso...

[dissonance]

Nessuna funzione limitata va bene, perché \(Mf(x)\le \|f\|_{L^\infty(\mathbb R)}\). Ci vuole una funzione che abbia una singolarità. Inutile cercare una funzione che cambia segno, tanto la funzione massimale di $f$ è la stessa della funzione massimale di $|f|$. Si tratta quindi di trovare una funzione positiva, che ha un punto di singolarità integrabile (in modo che sia $L^1(\mathbb R)$) ma tale che la funzione massimale abbia un punto di singolarità non integrabile.