Metodo di gauss

[Shika93]

Non l'ho mai usato. Sto facendo qualche esercizio per vedere se le cose mi tornano.
Ho la matrice
$A=((0,1,0,1),(1,0,-1,2),(1,-1,-1,1),(2,-1,-2,3))$

Scambio $A^1$ con $A^2$ in modo da avere l'elemento $a_{1,1}$ non nullo.
Quindi
$A=((1,0,0,1),(0,1,-1,2),(-1,1,-1,1),(-1,2,-2,3))$
Dato che ho $a_{1,2}$ nullo passo alla riga dopo, quindi calcolo $R_3^1=R_3-(a_{3,1})/(a_{1,1})R_1=(-1,1,-1,1)+(1,0,0,1)=(0,1,-1,2)$
e quindi la matrice diventa
$A=((1,0,0,1),(0,1,-1,2),(0,1,-1,2),(-1,2,-2,3))$
A questo punto per annullare $a_{1,4}$ faccio: $R_4^1=R_4-(a_{4,1})/(a_{1,1})R_1=(-1,2,-2,3)+(1,0,0,1)=(0,2,-2,4)$
Quindi
$A=((1,0,0,1),(0,1,-1,2),(0,1,-1,2),(0,2,-2,4))$

Ora devo passare alla colonna dopo per annullare $a_{3,2}$. Quindi calcolo $R_3^2=R_3^1-(a_{3,2})/(a_{2,2})R_2=(0,1,-2,2),(0,1,-1,2)=(0,0,0,0)$
Facendo poi la stessa cosa anche per $R_4^2$ mi viene di nuovo una riga nulla. Quindi la matrice verrebbe

$A=((1,0,0,1),(0,1,-1,2),(0,0,0,0),(0,0,0,0))$

Cosa ho sbagliato? WolframAlpha mi dice che gli autovalori di A sono 3; -1; 0 e 0 cosa che chiaramente nell'ultima matrice che ho scritto non è.

[Magma]

Per verificare i calcoli puoi usare questo bel programmino http://ww2.unime.it/weblab/ita/Gauss/gauss_es.htm

Comunque non capisco la relazione tra gli autovalori e la matrice ridotta...

[Shika93]

La matrice iniziale e quella finale devono essere equivalenti, giusto? Quindi anche gli autovalori dovrebbero essere gli stessi. O sbaglio?

[Magma]

Se due matrici $A, B$ sono simili, cioè: $EE P in GL_n(RR)$ tale che $A=P^(-1)BP$, allora hanno stesso determinante e stesso polinomio caratteristico¹.

L'algoritmo di Gauss trasforma una matrice $C$ in una matrice equivalente $C'$ ridotta per righe (pratica per risolvere i sistemi lineari) e, che io sappia, non viene usato per la ricerca di autovalori (basta pensare che le operazioni di Gauss non mantengono invariato il determinante).


Lo scopo dell'esercizio qual è: ridurla per righe o cercare gli autovalori?

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Note

1. Si tratta di una condizione necessaria, per la similitudine, ma non sufficiente! ↑

[Shika93]

No il mio pensiero (errato) era: se parto da $A$ e applico Gauss, arrivando ad $A'$ allora posso dire che $A$ e $A'$ sono equivalenti e hanno gli stessi autovalori. Invece è una boiata perchè effettivamente, se già cambio la matrice $A$ facendo combinazioni lineari sulle righe, ecc, già il determinante della matrice che ho trovato è diverso dal determinante della matrice di partenza. Dato che determinante e polinomio caratteristico sono strettamente correlati, sicuramente $A$ e $A'$ non hanno gli stessi autovalori.
Quello che posso dire è che con Gauss, partendo dal sistema $AX=B$ ottengo un sistema equivalente $A'X=B'$ e basta. Al più, risolvibile più facilmente per sostituzione.

P.s: in questo caso le equazioni del sistema erano omogenee, quindi $B=0$