geometria dello spazio , forme bil.

[Ciome]

e niente, voglio usare questo spazio per tutti i miei casini con gli argomenti del titolo.

Vorrei cominciare con un esercizio che probabilmente è semplice, ma non capisco da dove partire:

1) trovare lo spazio direttore del piano pi: x-z+3 = 0. Trovare anche l'eq. cartesiana del piano pi' parallelo a pi e passante per (1,1,0)

Ora io in questo caso esprimo x = z-3 e poi calcolo lo spazio delle soluzioni che supponiamo sia W:
$W = {(z,0,z)| z \in R} = {z(1,0,1)| z \in R} = <(1,0,1)>$

Al che questo vettore della varietà lineare è effettivamente parte della soluzione corretta. Tuttavia uno spazio deve averne due di questi. Quello mancante è (0,1,0) ma non capisco da dove cavolo l'hanno pescato.

[feddy]

Quella che tu hai ottenuto in questo modo è una retta (o meglio ti sei ricavato il parametro direttore, ma se ne hai solo uno, allora hai solo una direzione, e pertanto è una retta).

Questo perché hai dimenticato di porre la $y$ come parametro libero

Pertanto nel tuo sistema avrai
$ { ( x=-3+z ),( y= \xi),( z=\lambda ):} $ e ricaverai i parametri direttori richiesti

[feddy]

Per determinare il piano parallelo, ma passante per il punto P, è sufficiente mantenere gli stessi vettori direttori, ma ovviamente, cambiare le coordiante del punto

Testo nascosto, fai click qui per vederlo

$ { ( x=1 +\lambda ),( y=1 +\xi ),( z=0 + \lambda ):} $

Ti ricavi, per esempio dalla prima equazione il parametro $\lambda$, e sostituendolo nell'ultima ottieni direttamente l'equazione del piano cercato...
$pi : z=x-1 $

[Ciome]

Chiaro, grazie.

Avrei un dubbio sul quando due rette sono uguali, cioè coincidono. Da quello che ho compreso io, se hanno gli stessi parametri direttori hanno sicuramente la stessa direzione, ma se passano per un punto diverso non sono la stessa retta, sono due rette parallele. E' giusto o qualcosa non va?

Inoltre, in un esercizio che teoricamente ho risolto, c'è un errore che non trovo:

ho le rette r, definita da x-2z+2 =0 e -x-y+2z=0

e s, definita da 3x+y-6z+4=0 e -3x-2y+6z-2 = 0.

Mi chiedono se sono uguali. Io metto i due sistemi come matrici complete e riduco ciascuna in fcs. secondo la soluzione dovrebbero uscire due matrici uguali pari a:

1	0	-2	-2
0	1	0	-2

a me però non succede. cioè le prime tre colonne sono identiche, ma l'ultima è tutta un'altra roba per entrambe le rette. Forse sbaglio come mettere in matrice i dati ? cos'è che mi sfugge?

[feddy]

come ben dici, se hanno la stessa direzione (leggasi parametro direttore) le rette sono sicuramente parallele...
e ovviamente per coincidere devono passare per lo stesso punto

veniamo al tuo esercizio...

Il tuo metodo mi pare meccanico e probabilmente non hai capito quello che devi fare...

date le due rette scritte come intersezione di piani , devi scrivere ciascuna retta in forma parametrica, e verificare se effettivamente hanno la stessa forma...

Testo nascosto, fai click qui per vederlo

$ { ( x=2z-2 ),( -x-y+2z=0 ):} $ , da cui ricavando una delle incognite , ora la x, e sostituendola nella seconda otteniamo:
$ { ( x=-2 +2\lambda ), ( y=2 ),( z=\lambda ):} $
fai la stessa cosa con l'altra retta e vedi se coincidono..

In questo modo sfrutti l'idea di sottovarietà lineare senza andare a considerare conti con le matrici

[Ciome]

Ti ringrazio per il metodo alternativo ma mi basta capire come mettere i coefficienti delle equazioni in matrice, altrimenti appena mi ricapita un qualsiasi altro caso in cui devo farlo sono fregato. Io prendo sempre i termini noti, li porto dall'altra parte e a quel punto metto tutto in matrice così com'è. Evidentemente qualcosa non va o in quello che faccio io o nel testo dell'esercizio.

Poi comunque sapevo cosa stavo facendo, dato che il mio ragionamento è stato:
le rette si esprimono con una varietà lineare
se due rette hanno due varietà lineari (VL) uguali sono parallele
se hanno anche lo stesso punto di passaggio sono la stessa retta
allora ho deciso che bastava semplicemente risolvere il sistema di ognuna per ricavarne punti e VL e vedere se erano gli stessi.

A proposito, qual'è il codice che si usa per rappresentare i sistemi qui nel forum?

[feddy]

Innanzitutto per scrivere le formule e roba varia basta che vai al link https://youtu.be/dauFz_AElMk, è spiegato chiaramente trovi tutto su http://www.matematicamente.it/forum/come-si-scrivono-le-formule-asciimathml-e-tex-t26179.html


Cioè in pratica cerchi lo spazio delle soluzioni del sistema lineare corrispondente alla matrice ?
Teoricamente è giusto ed è equivalente... visto che il primo esercizio l'hai sbagliato perché non consideravi il parametro libero, potrebbe essere che il tuo sia un errore nella risoluzione ?

[Ciome]

Cioè in pratica cerchi lo spazio delle soluzioni del sistema lineare corrispondente alla matrice ?
Teoricamente è giusto ed è equivalente... visto che il primo esercizio l'hai sbagliato perché non consideravi il parametro libero, potrebbe essere che il tuo sia un errore nella risoluzione ?

Non credo.
Voglio dire, la matrice di partenza della prima retta è

1	0	-2	-2
-1	-1	2	0

Guardandola si vede che per avere -2 nell'ultima colonna della prima riga, evidentemente si deve portare dall'altra parte il termine noto di ogni equazione prima di fare il sistema, e difatti io faccio così. Il problema è dopo: quando io sommo la prima riga alla seconda, ottengo:

1	0	-2	-2
0	-1	0	-2

ma per metterla in forma canonica speciale devo moltiplicare la seconda per -1 e quindi non ottengo la matrice della soluzione, ma una matrice che ha +2 invece del -2 in rosso

devo dire che, effettivamente, nello svolgimento della seconda retta avevo scritto male un segno. correggendo, mi esce la stessa matrice della prima retta, con la stessa differenza rispetto alla soluzione. Quindi risulta effettivamente che le rette sono uguali ma credo anche che manchi un segno nella soluzione del libro (dato che in questo esercizio non hanno svolto i calcoli ma scritto una mezza riga che riassume il mio procedimento e poi buttano li la matrice finale).

[feddy]

Mmm... ora non riesco a farlo.. però se viene sbagliato un segno probabilmente o ha sbagliato il testo oppure è una distrazione tua

[Ciome]

Anche controllando ancora e ancora non trovo errori. Sarà un errore di stampa, manca un segno, amen.

Passiamo oltre: prima stavo studiando come trovare una base ortonormale. Il procedimento teorico è chiaro, quello pratico un po' meno. Prendiamo questo esercizio come esempio:

trovare una base ortonormale di <(1,0,1,0),(2,1,2,2),(0,1,0,2),(1,0,0,0)>

Allora io verifico subito che non è una base perchè la matrice da essa formati, se portata a scala, mostra che il secondo vettore è combinazione degli altri. Dunque prendo i vettori che restano (nella matrice a scala) e con quelli applico Gram Schmidt.
Tutto bello.
Solo un paio di cose mi lasciano perplesso:
1) il libro trova una matrice a scala diversa dalla mia. Chiaramente vanno bene entrambe in quanto matrici a scala (100% sicuro che anche la mia è una matrice a scala corretta, tra l'altro mi è venuta fuori direttamente in forma canonica speciale, per caso), ma poi all'atto di cercare una base ortogonale uso vettori diversi. Il fatto di averla in fcs poi comporta in questo caso che è già subito una base ortogonale. Va bene lo stesso?

2) in un altro esercizio era dato il sottospazio generato dai vettori (x,y,z) t.c. x+y+z = 0. In questo caso ho esplicitato x e sostituito nel vettore. poi ho ricavato la varietà lineare <(-1,1,0),(-1,0,1)>. Li chiamo v1 e v2. Da li poi ho applicato Gram Schmidt.
Di nuovo, il libro mi prende come vettore w1 della base ortogonale il vettore che per me è v2. Io che invece ho preso v1 mi trovo quindi con un risultato diverso. Va bene lo stesso no? Le basi di uno spazio vettoriale sono infinite in teoria...