Studio convergenza puntuale e uniforme successione di funzioni

Messaggioda lucaldinho » 30/06/2016, 15:53

Salve ragazzi, avrei bisogno di una mano per lo studio della convergenza puntuale e uniforme di questa funzione : $f_n(x)=(sqrt(x)-x^(n+2))/x^n$
Ho problemi soprattutto per lo studio della convergenza uniforme.
Mi aiutereste col procedimento ?

Grazie in anticipo.
lucaldinho
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Re: Studio convergenza puntuale e uniforme successione di funzioni

Messaggioda gugo82 » 30/06/2016, 16:53

Cosa hai provato?
Sono sempre stato, e mi ritengo ancora un dilettante. Cioè una persona che si diletta, che cerca sempre di provare piacere e di regalare il piacere agli altri, che scopre ogni volta quello che fa come se fosse la prima volta. (Freak Antoni)
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Re: Studio convergenza puntuale e uniforme successione di funzioni

Messaggioda lucaldinho » 30/06/2016, 17:32

L'ho studiata nel suo dominio e ho convergenza puntuale a $f(x)=-x^2$ in $ x>1$, da qui ho problemi a calcolare il SUP
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Re: Studio convergenza puntuale e uniforme successione di funzioni

Messaggioda gugo82 » 30/06/2016, 22:59

Si ha:
\[
f_n(x) = \frac{1}{x^{\frac{2n-1}{2}}} - x^2
\]
dunque \(f_n\) converge in \([1,+\infty[\) verso la funzione:
\[
f(x) := \begin{cases} -x^2 &\text{, se } x>1 \\ 0 &\text{, se } x=1\; .\end{cases}
\]
Dato che le $f_n$ sono continue in \([1,+\infty[\) e che la funzione limite $f$ non lo è, la convergenza non può essere uniforme in \([1,+\infty[\).
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Re: Studio convergenza puntuale e uniforme successione di funzioni

Messaggioda lucaldinho » 30/06/2016, 23:15

Neanche se considero intervalli del tipo $ [a;+oo) $ con $ a>1 $ quindi ?
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Re: Studio convergenza puntuale e uniforme successione di funzioni

Messaggioda gugo82 » 30/06/2016, 23:30

Forse lì sì.

Infatti, si ha:
\[
|f_n(x) - f(x)| = \frac{1}{x^\frac{2n-1}{2}}\; ,
\]
dunque la funzione "scarto" $|f_n - f|$ è monotona decrescente e prende massimo assoluto in $x=a$, tale massimo essendo \(\frac{1}{a^\frac{2n-1}{2}}\).
Pertanto, dato che $a>1$, si ha:
\[
\max_{x\geq a} |f_n(x) - f(x)| = \frac{1}{a^\frac{2n-1}{2}}\to 0
\]
e perciò la convergenza è uniforme in \([a,+\infty[\).
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Re: Studio convergenza puntuale e uniforme successione di funzioni

Messaggioda lucaldinho » 01/07/2016, 09:12

Ok grazie mille, gentilissimo
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