Salve ragazzi propongo questo nuovo esercizio, al quale non mi trovo con il risultato proposto dalla traccia.
Calcolare
$int int_T (x/y)^2 dxdy$
$T={(x,y) in R^2 :1<=x^2+y^2<=2y}$
in questo caso si tratta di calcolare l'area della circonferenza $x^2+y^2=2y$ esclusa la parte che si interseca con la circonferenza $x^2+y^2=1$.
Ho ragionato in questo modo, visto che l'area della circonferenza è $A=pir^2$ e quindi $A=pi$ mi basta calcolare la parte compresa fra le due circonferenze e sottrarla ad $A$.
per calcolare la parte compresa fra le due circonferenze ho pensato di dividerla in 4 parti, visto che è simmetrica; ed ho pensato di calcolarmi l'area della parte (se immaginiamo il grafico cartesiano sarebbe l'area della parte in alto a destra dell'intersezione fra le due circonferenze) compresa fra $0<=x<=sqrt(3)/2$ ed $1/2<=y<=sqrt(1-x^2)$
quindi riscrivo l'integrale per il mio nuovo caso in questo modo:
$int_0^(sqrt(3)/2)dxint_(1/2)^(sqrt(1-x^2)) (x/y)^2 dy=$
$int_0^(sqrt(3)/2)x^2dxint_(1/2)^(sqrt(1-x^2)) (1/y)^2 dy=$
$int_0^(sqrt(3)/2)x^2(-1/sqrt(1-x^2)+2)dx=$ $3sqrt(3)/8-pi/6$ (l'ho fatto con wolframalpha)
moltiplicato per $4$ e viene $3/2sqrt(3)-2/3pi$ che sottratta ad $A=pi$ viene $5/3pi-3/2sqrt(3)$
La traccia portà, però come risultato $pi-3/2sqrt(3)$
ho provato a farlo anche diversamente ma non mi trovo mai! potreste aiutarmi a capire dove sbaglio?