Studio funzione di due variabili

[salt21]

Salve! Chiedo ancora il vostro aiuto per la risoluzione di questo esercizio, per cui non so proprio da dove cominciare. Mi bastano anche solo delle linee guida o dei suggerimenti affinché io possa riuscire a risolverlo.

Il testo è il seguente:

Si stabilisca se la funzione:
$ f(x,y) = 1/(sqrt(x^2+y^2))int_(0)^(sqrt(x^2+y^2)) |1-lnt|/(lnt)^2*t^(-1/2) dx $
sia limitata nel suo insieme di definizione.

Vi ringrazio sempre per il vostro aiuto.

[salt21]

Ho pensato di definire anzitutto il dominio della funzione.
Ho definito il dominio della funzione integranda, che risulta essere:

$ D = {t in R : t in (0,1)uu (1,+oo )} $ .

Ora, a quanto ho letto qui su matematicamente, per definire il dominio della funzione integrale, devo considerare che esso coincide con il più grande intervallo contenente il punto 0 (punto iniziale della funzione integrale) in cui l'integranda risulta integrabile.
Quindi: $ (0,1)sube DomF $.

Devo provare ad estendere il dominio di F a sinistra di 0 e a destra di 1. Calcolando i limiti, vedo che la funzione integrale presenta una discontinuità di 2^ specie in 1. Il limite destro e sinistro a zero non riesco invece a calcolarlo!

Supposto che stia seguendo la strada giusta, come devo procedere adesso?

[spugna]

Devo provare ad estendere il dominio di F a sinistra di 0 e a destra di 1. Calcolando i limiti, vedo che la funzione integrale presenta una discontinuità di 2^ specie in 1. Il limite destro e sinistro a zero non riesco invece a calcolarlo!

Supposto che stia seguendo la strada giusta, come devo procedere adesso?

Se hai già visto che $F$ tende a $\infty$ quando ti avvicini a $1$ hai praticamente finito, perché allora $f(x,y)=1/{sqrt{x^2+y^2}} F(sqrt{x^2+y^2})$ tende a $\infty$ ogni volta che $(x,y)$ tende a un punto che dista $1$ dall'origine, quindi $f$ non può essere limitata.

Nota comunque che il limite sinistro di $F$ a zero non ha senso (perché?)

[salt21]

Giusto, che stupida che sono!!
Comunque non ha senso perché l'estremo inferiore dell'integrale è 0, quindi al piú posso far tendere la variabile a 0 da destra, corretto?
Quindi il procedimento che ho seguito per studiare l'eventuale limitatezza della funzione va bene?

[spugna]

Comunque non ha senso perché l'estremo inferiore dell'integrale è 0, quindi al piú posso far tendere la variabile a 0 da destra, corretto?

No, un integrale può esistere anche se il secondo estremo è minore del primo, e in generale scambiare gli estremi fa cambiare segno all'integrale (piuttosto che "estremo inferiore" ed "estremo superiore" sarebbe meglio dire "estremo di partenza" ed "estremo di arrivo"). Il problema è che integrando da $0$ a un numero negativo avresti un intervallo in cui la funzione ${|1-ln t|}/(ln t)^2 t^{-1/2}$ non è mai definita. Resta comunque il fatto che, in questo caso particolare, l'esistenza (ed eventualmente il valore) di $\lim_{z->0^-} F(z)$ non ti interessa, dal momento che ti basta studiare $F(z)$ nell'immagine della funzione $z=sqrt{x^2+y^2}$, che non assume mai valori negativi.

Quindi il procedimento che ho seguito per studiare l'eventuale limitatezza della funzione va bene?

Se hai verificato che $\int_0^a {|1-ln t|}/(ln t)^2 t^{-1/2} dt$ converge per valori "piccoli" di $a$, direi che è tutto giusto..!

[salt21]

Calcolando i limiti, vedo che la funzione integrale presenta una discontinuità di 2^ specie in 1.

Scusa!!! Volevo scrivere funzione integranda Quindi non ho provato che la funzione integrale sia illimitata Come posso provare la convergenza o divergenza di un integrale generalizzato?
Per quanto riguarda la questione del limite sinistro a zero, adesso ho capito, grazie per l'appunto.
Grazie per l'aiuto e scusa ancora

[spugna]

Come posso provare la convergenza o divergenza di un integrale generalizzato?

Di solito si cercano delle stime asintotiche. In questo caso una possibile soluzione è:

1) Per $ \int_0^a {|1-ln t|}/(ln t)^2 t^{-1/2} dt $, con $a<1$, osserviamo che la frazione con il logaritmo tende a $0$, quindi in un intorno sufficientemente piccolo di $0$ possiamo maggiorarla con una costante positiva, ottenendo

$ \int_0^a {|1-ln t|}/(ln t)^2 t^{-1/2} dt <= \int_0^a c/sqrt{t} dt =2c sqrt{a}$

Da qui si conclude che la funzione integrale è definita in $(0,1)$.

2) Per il limite in $1$ abbiamo $\int_0^1 {|1-ln t|}/(ln t)^2 t^{-1/2} dt>\int_{1/2}^1 {|1-ln t|}/(ln t)^2 t^{-1/2} dt $, e osserviamo che per $t->1$ la funzione integranda è asintoticamente equivalente a $1/(t-1)^2$ (cioè il rapporto delle due funzioni tende a $1$), quindi possiamo ricondurci a $\int_{1/2}^1 1/(t-1)^2dt $, che diverge.

[salt21]

Ok per il primo caso. Per quanto riguarda il secondo, a quanto ho capito hai considerato che:

$ |1-lnt|/(lnt)^2*1/sqrt(t)=|1-lnt|/(lnt)^2*1/sqrt(t)*(1-t)^2/(1-t)^2 $ , che tende asintoticamente a:
$ 1/sqrt(t)*1/(1-t)^2 $ per $ trarr 1 $ . Perché non hai scritto il fattore $ 1/sqrt(t) $ ? Sono molto confusa

[spugna]

Per definizione di equivalenza asintotica ottieni una funzione equivalente eliminando tutti i fattori che tendono a $1$, e $1/sqrt{t}$ è uno di questi, quindi la sua presenza o meno non è influente (da questo punto di vista): le funzioni $1/(1-t)^2$ e $1/{sqrt{t}(1-t)^2}$ vanno bene entrambe, e non a caso sono equivalenti, dato che hanno come rapporto $\sqrt{t}$

[dissonance]

Scusate l'intromissione:

Giusto, che stupida che sono!!
Comunque non ha senso perché l'estremo inferiore dell'integrale è 0, quindi al piú posso far tendere la variabile a 0 da destra, corretto?

Qui ti hanno messo due variabili $x$ e $y$ ma in realtà ti prendono in giro, perché le due variabili compaiono solo attraverso la formula \(r=\sqrt{x^2+y^2}\). Ti conviene quindi cambiare variabile e considerare la funzione
\[
G(r)=\frac1r \int_0^r (\text{etc...}),\]
dove \(r\in(0, \infty)\).