Superficie regolare

[Genny_it]

Salve Ragà, l'esercizio sulla superficie è il seguente:
Studiare la regolarità della superficie:
$phi(u,v)=(ve^u,ve^u,v)$, con $(u,v) in D$
Dove $D={v^2<=u<=1, -1<=v<=0}$

Da quello che ho capito $phi$ è regolare se valgono:
1)$phi in C^1(D)$;
2)$phi$ è iniettiva;
3)il rango di $Dϕ(u, v)$ è 2 per ogni $(u, v) ∈ A$.

Praticamente come verifico queste condizioni, riferendomi a questo esercizio ad esempio? sopratutto come faccio a dire se è iniettiva la mia funzione?

la prima ipotesi credo sia verificata, in quanto le componenti della mia funzione sono derivabili entrambe rispetto a $u$ e $v$ ma poi nn saprei continuare

[Genny_it]

up
(nessuno sa come faccio a dire se vale il secondo punto? è quello che mi interessa di più, grazie in anticipo)

[anonymous_0b37e9]

Si tratta di una parametrizzazione iniettiva. Infatti:

$\{(v_1e^(u_1)=v_2e^(u_2)),(v_1e^(u_1)=v_2e^(u_2)),(v_1=v_2):} rarr \{(u_1=u_2),(v_1=v_2):}$

[Genny_it]

Ciao, innanzitutto grazie mille per la risposta, ma non mi è ancora chiaro .
Ponendo:
${(u_1=u_2),(v_1=v_2):} $ mi sembra ovvio quanto hai scritto ma che significato assume, cioè perchè fai questo, che ragionamento devo seguire ?

[anonymous_0b37e9]

Nel caso delle funzioni di una sola variabile, dimostrare che:

$[f(x_1)=f(x_2)] rarr [x_1=x_2]$

equivale a dimostrarne l'iniettività secondo la definizione classica:

$[x_1nex_2] rarr [f(x_1)nef(x_2)]$

visto che:

$[A->B] iff [¬B->¬A]$

Nel caso delle funzioni di più variabili, anche se più laborioso, si procede allo stesso modo.

[Genny_it]

Ok credo di aver capito qualcosa, ma posso scegliere qualsiasi valore di $u$ e $v$ per verificare la condizione? E quindi ogni qual volta ho una superficie parametrizzata, essa risulta sempre iniettiva?

Si tratta di una parametrizzazione iniettiva. Infatti:

$ \{(v_1e^(u_1)=v_2e^(u_2)),(v_1e^(u_1)=v_2e^(u_2)),(v_1=v_2):} rarr \{(u_1=u_2),(v_1=v_2):} $

[anonymous_0b37e9]

E quindi ogni qual volta ho una superficie parametrizzata, essa risulta sempre iniettiva?

Assolutamente no. Meglio fare un esempio concreto di parametrizzazione non iniettiva:

$phi(u,v)=(u^2,v,u^2+v)$

$\{(u_1^2=u_2^2),(v_1=v_2),(u_1^2+v_1=u_2^2+v_2):} rarr \{(u_1=+-u_2),(v_1=v_2):}$

Questo significa, per esempio:

$phi(1,3)=(1,3,4) ^^ phi(-1,3)=(1,3,4)$

ossia, che a due coppie diverse $(u,v)$ corrisponde lo stesso punto della superficie. A proposito, sei sicuro di aver compreso la definizione di funzione iniettiva per funzioni di una sola variabile?

[Genny_it]

No non ne sono sicuro penso sia una cosa del genere:
se considero la funzione $y=f(x)$ ad esempio: $y=x+1$ la funzione è iniettiva se presi due punti $x_1 = x_2$ ottengo $f(x_1)=f(x_2)$ quindi in questo caso $y=x_1+1$ e $y=x_2+1$ che da quello che riesco a immaginare è sempre vero.
potresti postare un esempio anche per funzione di una variabile?

Tornando alle funzione di più variabili;
scusa la mia impreparazione, ma non deve essere(togliendo i quadrati da sopra le u)?:
$ \{(u_1^2=u_2^2),(v_1=v_2),(u_1^2+v_1=u_2^2+v_2):} rarr \{(+-u_1=+-u_2),(v_1=v_2):} $
o meglio come ricavi $u_1=+-u_2$ c'è un modo o è per logica?

[anonymous_0b37e9]

La seguente implicazione:

$[x_1=x_2] rarr [f(x_1)=f(x_2)]$

è sempre vera, discende dalla definizione di funzione. Per dimostrare l'iniettività è necessaria l'implicazione opposta:

$[f(x_1)=f(x_2)] rarr [x_1=x_2]$

Quindi:

$f(x)=x+1$

$[f(x_1)=f(x_2)] rarr [x_1+1=x_2+1] rarr [x_1=x_2]$

è iniettiva, mentre:

$f(x)=x^2$

$[f(x_1)=f(x_2)] rarr [x_1^2=x_2^2] rarr [x_1^2-x_2^2=0] rarr [(x_1+x_2)(x_1-x_2)=0] rarr [x_1=+-x_2]$

non è iniettiva, potendo la funzione assumere lo stesso valore per valori opposti di $x$.

[Genny_it]

Grazie della spiegazione, e dell'aiuto, penso di aver capito, almeno a sufficienza, in parole povere ad ogni x deve corrispondere una solo valore di y, se per caso esistono due valori della x per i quali la funzione assume lo stesso valore, allora essa non è iniettiva.
Per le funzioni a più variabili vale la stessa condizione, ma risulta però un poco più difficile verificarlo, infatti ho ancora dei dubbi (relativi alla verifica, non al concetto stesso (sempre se il concetto l'ho afferrato))
Nel nostro caso, quello della superficie parametrizzata abbiamo un applicazione di due variabili, e quindi dobbiamo verificarlo per due variabili ($u$ e $v$) all'intero della parametrizzazione