Piano tangente dipendente da una funzione

[Shika93]

Se ho $f:\RR^2 \Rightarrow \RR^2$ di classe $C^1$ , $\gradf(-2,3)=(1/2,1/3)$ e $g(x,y)=f(ax-2e^y,by+3e^x)$ come trovo i valori di $a,b \in \RR$ tale per cui il piano tangente a g in $(0,0,g(0,0))$ sia orizzontale?
Come trovo $g(0,0)$? $g(0,0)=f(-2,3)$ però io in quel punto conosco il gradiente. Come proseguo?
Trovato $g(0,0)$ penso che poi basti trovare l'equazione del piano e determinare i parametri

[anonymous_0b37e9]

Probabilmente intendevi scrivere:

$g(x,y)=f(h_1(x,y),h_2(x,y))$

con:

$\{(h_1(x,y)=ax-2e^y),(h_2(x,y)=by+3e^x):}$

Ma in questo caso:

$[h:RR^2->RR^2] ^^ [f:RR^2->R] ^^ [g:RR^2->R]$

[spugna]

Con questi dati non puoi conoscere $g(0,0)$, ma la cosa non dovrebbe preoccuparti perché devi imporre soltanto che il piano sia orizzontale, il che si traduce in una condizione sulle derivate parziali di $g$.

[Shika93]

Cioè devo risolvere
\begin{cases}
\frac{\partial}{\partial x}ax-2e^y=0 \\
\frac{\partial}{\partial y}by+3e^x=0
\end{cases}
e trovare $a$ e $b$ e basta?

[anonymous_0b37e9]

Dovresti utilizzare la seguente formula:

$(((delg)/(delx),(delg)/(dely)))=(((delf)/(delx),(delf)/(dely)))(((delh_1)/(delx),(delh_1)/(dely)),((delh_2)/(delx),(delh_2)/(dely))) rarr ((0,0))=((1/2,1/3))((a,-2),(3,b))$

[Shika93]

Ah ho capito. Ti ringrazio