Lo faccio qui, sperando sia cosa gradita.
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Ricordo gli enunciati dei tre teoremi fondamentali sul passaggio al limite sotto il segno d'integrale per l'integrale di Lebesgue:
Inoltre ricordo la fondamentale definizione:
La nozione di convergenza associata alle norme $L^p$ per $1<=p<=oo$ è la seguente:
Teorema della Convergenza Limitata
Siano $E\subseteq \RR^N$ misurabile secondo Lebesgue ed $(f_n)$ una successione di funzioni misurabili definite in $E$ a valori in $\RR$.
Se:
- $m(E)<+\infty$,
- esiste $M >= 0$ tale che $|f_n(x)| <= M$ per q.o. $x\in E$,
- $(f_n)$ converge q.o. in $E$ verso una funzione $f$ limitata,
allora:
\[
\lim_n \int_E f_n(x)\ \text{d} x = \int_E f(x)\ \text{d} x\; ,
\]
cioè è valido il passaggio al limite sotto al segno d'integrale.
Teorema di Beppo Levi (o della Convergenza Monotòna)
Siano $E\subseteq \RR^N$ un insieme misurabile secondo Lebesgue ed $(f_n)$ una successione di funzioni misurabili definite in $E$ a valori in \(\widehat{\mathbb{R}} := \mathbb{R} \cup \{\pm \infty\}\).
Se:
- $f_n(x)\geq 0$ q.o. in $E$,
- $(f_n)$ è crescente, i.e. se $f_n(x)<= f_{n+1} (x)$ per q.o. $x\in E$,
allora, detto $f$ il limite puntuale della successione $(f_n)$ (che è definito q.o. in $E$), si ha:
\[
\lim_n \int_E f_n(x)\ \text{d} x = \int_E f(x)\ \text{d} x\; ,
\]
cioè è valido il passaggio al limite sotto al segno d'integrale.
Teorema di Lebesgue (o della Convergenza Dominata)
Siano $E\subseteq \RR^N$ un insieme misurabile secondo Lebesgue ed $(f_n)$ una successione di funzioni misurabili definite in $E$ ed a valori in \(\widehat{\mathbb{R}}\).
Se:
- esiste una funzione \(\phi :E\to \widehat{\mathbb{R}}\) tale che \(|f_n(x)|\leq \phi (x)\) per q.o. $x\in E$,
- $\phi$ è integrabile (come funzione non negativa, i.e. sommabile) in $E$,
- $(f_n)$ converge q.o. in $E$ verso una funzione $f$,
allora:
\[
\lim_n \int_E f_n(x)\ \text{d} x = \int_E f(x)\ \text{d} x\; ,
\]
cioè è valido il passaggio al limite sotto al segno d'integrale.
Inoltre ricordo la fondamentale definizione:
Siano $E\subseteq \RR^N$ misurabile secondo Lebesgue e $p >= 1$.
L'insieme:
\[
L^p(E) :=\left\{ f:E\to \widehat{R} \text{ t.c. } f \text{ è misurabile ed } \int_E |f(x)|^p\ \text{d} x<+\infty\right\}
\]
(in cui si conviene di identificare funzioni q.o. uguali in $E$) si chiama spazio di Lebesgue d'ordine $p$ su $E$, o semplicemente spazio $L^p$.
La funzione:
\[
\| \cdot \|_p : L^p(E)\ni f \mapsto \left( \int_E |f(x)|^p\ \text{d} x\right)^\frac{1}{p} \in [0,+\infty[
\]
si chiama norma integrale d'ordine $p$, o semplicemente norma $L^p$.
Per $p=oo$, si pone:
\[
L^\infty (E) := \left\{ f:E\to \widehat{R} \text{ t.c. } f \text{ è misurabile ed è limitata q.o. in } E\right\}
\]
(in cui si conviene di identificare funzioni q.o. uguali in $E$) si chiama spazio di Lebesgue d'ordine $oo$ su $E$, o semplicemente spazio $L^oo$.
La funzione:
\[
\| \cdot \|_\infty : L^p(E)\ni f \mapsto \min \left{ M\geq 0:\ |f(x)|\leq M \text{ q.o. in } E\right\} \in [0,+\infty[
\]
si chiama norma $oo$, o semplicemente norma $L^oo$.
Per ogni $1 <= p <= oo$, la funzione \(\|\cdot \|_p\) è una norma ed induce su $L^p(E)$ una struttura di spazio metrico.
La nozione di convergenza associata alle norme $L^p$ per $1<=p<=oo$ è la seguente:
Si dice che una successione $(f_n)\subseteq L^p(E)$ converge verso una funzione $f\in L^p(E)$ in norma se e solo se:
\[
\lim_n \| f_n-f\|_p =0\; .
\]
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Esercizi:
1. Utilizzando opportunamente i teoremi di passaggio al limite per l'integrale di Lebesgue e giustificando i passaggi, calcolare i seguenti limiti:
\[
\begin{align}
\tag{I} &\lim_n \intop_0^\infty x^n\ e^{-nx}\ \text{d} x \\
\tag{II} &\lim_n \intop_1^\infty \frac{n}{1+n^2x^2}\ \text{d} x\\
\tag{III} &\lim_n\ n\ \intop_0^1 x^n\ (1-x)\ \text{d} x\\
\tag{IV} &\lim_n \iint_{B(\mathbf{0};1)} \frac{xy + 1}{\sqrt{\frac{1}{n^2} + x^2 + y^2}}\ \text{d} x\text{d} y\; .
\end{align}
\]
2. Studiare la convergenza in $L^p(\RR^2)$, con $1<= p <= oo$, della successione di funzioni:
\[
\tag{A} f_n(x,y) := \sin (nxy)\ e^{-n(x^2+y^2)}\; .
\]
3. Sia $f:\RR^N -> \RR$ una funzione sommabile, cioè $f\in L^1(\RR^N)$.
Provare che:
\[
\forall \varepsilon >0,\ \exists K=K_\varepsilon \subseteq \mathbb{R}^N:\quad K\text{ è compatto e } \int_{\mathbb{R}^N\setminus K} |f| < \varepsilon\; .
\]
