Se per pura fortuna questo problema di trigonometria non fosse stato presente sul mio libro di Matematica, penso che avrei perso qualche anno di vita
è
Matematica blu 2.0, n. 183, pag 879?
In una semicirconferenza di diametro $AB=2r$ la corda $overline{AC}$ misura $rsqrt2$. Il punto $P$, preso sull'arco $overline{AC}$, ha proiezione $H$ sul segmento $overline{AC}$ e $C$ ha proiezione $K$ sulla tangente in $P$. Detto $x$ l'angolo $Chat{A}P$, determina la funzione:
$y=overline{CK}+sqrt2overline{PH}+overline{PK}$
cominciamo... intanto vorrei farti notare che se $overline{AC}=rsqrt2$ si ha che questo segmento è il lato di un triangolo rettangolo isoscele inscritto nella semicirconferenza.
considerando che l'angolo alla circonferenza $Chat{A}P$ è sotteso alla stessa corda del corrispondente angolo al centro, chiama $2x$ l'angolo al centro sotteso alla corda $overline{PC}$.
Considera i segmenti $overline{PO}$ e $overline{CO}$. La retta $t$ è perpendicolare a $overline{PO}$
ora il quadrilatero $OPKC$ è un trapezio rettangolo, retto in $hat{P}$ e $hat{K}$. Ora è facile dimostrare che i due segmenti che ci servono si possono calcolare così:
${(overline{PK}=rsin(2x)),(overline{CH}=r-rcos(2x)):}$
ora per trovare $overline{AP}$ basta considerare che $Ohat{A}P=pi/4+x$ e $Ahat{O}P=pi/2-2x$. Poiché i lati del triangolo in questione formano un triangolo isoscele, per il teorema sul triangolo isoscele deve essere che $Ahat{O}P=Ohat{A}P$
e dunque $overline{AP}=2cros(pi/4+x)$ e $overline{PH}=overline{AP}sinx=2rsinxcos(pi/4+x)$
ora abbiamo tutto per impostare la nostra funzione:
$y=r-rcos(2x)+rsin(2x)+sqrt2(2rsinx(cosxcos(pi/4)-sinxsin(pi/4))$
$y=r-rcos^2x+rsin^2x+2rsinxcosx+2rcosxsinx-2rsin^2x$
$y=r-r+rsin^2x+rsin^2x+4rsinxcosx-2rsin^2x$
$y=2rsin(2x)$
per quanto riguarda le limitazioni geometriche del problema: considerato la retta su cui giace il segmento $overline{AP}$ essa diventa tangente alla circonferenza quando $pi/4+x=pi/2$ ovvero quanto $x=pi/4$ e quando $x$ assume questo valore, il segmento degenera in un punto. Poi se $x=0$ il segmento degenera invece nel lato del triangolo inscritto nella semicirconferenza.
$0leqxleqpi/4$
la prossima volta controlla bene il titolo
