Studio funzione di due variabili

[salt21]

Data la funzione:

$ f(x,y)= (1/2)^(x^2+y^2-|y-x^2|+1) $

a) Si stabilisca se la funzione f sia limitata nel suo insieme di definizione
b) Si determinino i massimi e i minimi assoluti di f in:

$ T = {(x,y)∈ R^2 : |y|<=1; -2≤x≤0 } $

Il punto a) l'ho risolto sciogliendo il valore assoluto e considerando i due "tratti" della funzione. Ho calcolato il limite per $ (x,y)→ +∞ $ e ho constatato che la funzione tende a zero. Essendo il suo insieme di definizione tutto $ R^2 $ e la funzione ivi continua, la funzione risulta ivi anche limitata.

Per quanto riguarda il punto b) ho considerato che:
$ f(x,y)= (1/2)^(x^2+y^2-|y-x^2|+1) = e^ln ((1/2)^(x^2+y^2-|y-x^2|+1))= e^((x^2+y^2-|y-x^2|+1)*ln(1/2)) $
Quindi, calcolando le derivate parziali rispetto ad x e ad y e imponendo $ grad f(x,y)=0 $ , ottengo un sistema le cui soluzioni sono:
$ x=0, y=1/2 $ (per $ y>x^2 $) e
$ x=alpha, y=-1/2 $,con $ -2<= alpha <= 0 $, per le condizioni imposte da $ T $, (per $ y<x^2 $).

Ora mi tocca valutare se i punti trovati siano di massimo, di minimo o di sella. Solitamente opero tramite l'Hessiano, ma stavolta mi sembra non sia affatto conveniente, quindi deve esserci un altro modo per determinare la natura di questi punti.
Avevo pensato di considerare separatamente i due tratti della funzione, dato che i due punti si riferiscono a ciascun tratto rispettivamente, ma anche qui la risoluzione si complica. Disegnando online il grafico della funzione ho visto che il punto (0,1/2) è di massimo (effettivo), mentre (α, -1/2) è di massimo per α variabile tra i valori suddetti.

Quindi vi chiedo: come valutare la natura di questi punti non avendo a disposizione strumenti come il grafico (ovviamente )?

Grazie a quanti mi aiuteranno.
P.S. Perdonate l'eventuale presenza di errori, anzi, correggetemi se necessario.

[Lele0012]

Nel primo caso, per $y>x^2$ ti invito a calcolare la matrice hessiana: non vorrei aver sbagliato i calcoli, ma una volta sostituiti i valori $x=0$ e $y=1/2$ si vede subito che il punto in questione è un punto di massimo; nel secondo caso ($y<x^2$), ahinoi, l'hessiano non ci dice nulla, in quanto ci accorgiamo subito che è nullo. Prova dunque a sfruttare la definizione di massimo: se i punti $(\alpha, -1/2)$ costituiscono un massimo, dovrà valere:
$f(x,y)-f(\alpha,-1/2)<=0$
Risolvendo la relativa disequazione, ti accorgerai che $f(x,y)$ è sempre strettamente minore di $f(\alpha, -1/2)$, che costituisce dunque un massimo per la tua funzione; non ti ho trascritto tutti i calcoli per evitare spoiler, ma fammi sapere se non sei d'accordo facendo i relativi conti. E se ho fatto errori, scusa in anticipo!

[salt21]

Ciao Lele0012,
dunque, come mi hai proposto, ho calcolato l'Hessiano per il tratto $ y>x^2 $ e mi trovo in accordo con quanto trovato da te. Per quanto riguarda il caso $ y<x^2 $, ho risolto la disequazione da te proposta $ f(x,y)-f(\alpha,-1/2)<=0 $, considerando il tratto di funzione: $ f(x,y)=(1/2)^(y^2+y+1) $ e, anche in questo caso, ottengo i tuoi stessi risultati.
Ora, il dominio T ci richiede punti estremanti per $ -1<=y<=1 $, quindi quello che ho trovato va bene perchè vale per ogni $ y<x^2 $, con $ -2<=x<=0 $.
Dunque posso concludere che i punti sono entrambi di massimo assoluto per la funzione. E' corretto?

Grazie per l'immensa pazienza.

[Lele0012]

Oh, che sciocco, dimenticavo il dominio in cui è ristretta la funzione guarda, in effetti non sai se ci sono dei valori assunti dalla funzione nel bordo maggiori dei valori assunti in $(0,1/2)$; cerca quindi i massimi e i minimi sul bordo come un in problema di estremi vincolati, con il metodo dei moltiplicatori di Lagrange o (come è molto più conveniente!) con una parametrizzazione, confronta i valori assunti dalla funzione e fammi sapere che ti trovi: dovresti trovarti sia i risultati precedenti che qualche dato in più

[salt21]

Ah ecco! Mancava qualcosa... ma come si fa con la parametrizzazione? Conosco solo il metodo dei moltiplicatori di Lagrange.

[Lele0012]

E' un metodo spesso più semplice dei moltiplicatori di Lagrange: la tua funzione descrive una superficie, il cui bordo è una curva che, proiettata sul piano, costituisce proprio il rettangolo delimitato da $|y|<=1, -2<=x<=0$ Parametrizza la curva in questione: in questo caso, poiché è un rettangolo, va parametrizzato ogni lato con quattro curve:
Il lato a,
${(x=0),(y=t):} -1<=y<=1$
il lato b,
${(x=t),(y=1):} -2<=x<=0$
il lato c,
${(x=-2),(y=t):} -1<=y<=1$
e l'ultimo lato d:
${(x=t),(y=-1):} -2<=x<=0$
Facendo attenzione a quale parte della tua funzione (se $y<x^2$ o $y>x^2$) stai prendendo in considerazione. Sostituisci questa parametrizzazione nella tua funzione $f(x,y)=f(x(t),y(t))=g(t)$, e quello che ottieni è una funzione nell'unico parametro t, di cui trovare massimi e minimi
Se sono stato poco chiaro dimmi tutto che vediamo l'esercizio con calma

[salt21]

Ottimo! Ho capito in linea teorica questo nuovo metodo e sembra più semplice dei moltiplicatori di Lagrange.
Solo "alcune" domande: tu hai detto

Parametrizza la curva in questione...Facendo attenzione a quale parte della tua funzione (se $ y < $ o $ y>x^2 $) stai prendendo in considerazione. Sostituisci questa parametrizzazione nella tua funzione $ f(x,y)=f(x(t),y(t))=g(t) $, e quello che ottieni è una funzione nell'unico parametro t, di cui trovare massimi e minimi

In che senso devo fare attenzione a quale parte della funzione prendo in considerazione? Puoi farmi magari l'esempio pratico anche solo relativamente ad un tratto della funzione per capire come ottenere la funzione di una variabile? Forse devo vedere in quale lato della curva sono rispettate le condizioni $ y < $ o $ y>x^2 $ e sostituire i parametri relative ai vari lati nei rispettivi tratti? Scusa tutte queste domande, ma son curiosa di comprendere bene questo procedimento e risolvere finalmente questo esercizio infinito

[Lele0012]

Certamente, vediamo meglio quanto detto. Abbiamo appurato di avere un massimo nel punto $(0,1/2)$ e sulla retta $y=-1/2$: per praticità, ti do un riferimento grafico così puoi costatarlo immediatamente:

E' presente un "picco" centrale lungo tutto l'asse $y=-1/2$, ed un altro picco sulla "gobbetta" che appare subito a sinistra.
Ora, vogliamo osservare se vi siano ulteriori estremi sul bordo del quadrato descritto dall'esercizio, che puoi visualizzare in questo modo:

Le nostre curve su cui effettuare la parametrizzazione sono, come già detto...

Il lato a,
$ {(x=0),(y=t):} -1<=y<=1 $
il lato b,
$ {(x=t),(y=1):} -2<=x<=0 $
il lato c,
$ {(x=-2),(y=t):} -1<=y<=1 $
e l'ultimo lato d:
$ {(x=t),(y=-1):} -2<=x<=0 $

Osserviamo che sul lato c e d vale sempre $y<x^2$, perciò la funzione vale $f(x,y)=e^(-log2(+y^2+y+1))$, ed è quella da parametrizzare; sul lato a, la funzione vale $f(x,y)=e^(-log2(y^2+y+1))$ per $-1<=y<=0$ e $f(x,y)=e^(-log2(2x^2+y^2-y+1))$ per $0<=y<=1$, in quanto in questo secondo tratto vale $y>x^2$ (essendo $x=0$, quando y è positiva è certamente maggiore di 0 al quadrato, quindi... zero!); infine, sul lato b vale $f(x,y)=e^(-log2(y^2+y+1))$ per $-2<=x<=-1$ e $f(x,y)=e^(-log2(2x^2+y^2-y+1))$ per $-1<=x<=0$. Applicando queste parametrizzazioni, trova il valore $t$ per cui hai un massimo (o un minimo), e sostituiscilo in $f(x(t),y(t))$ per ottenere tutti i possibili punti di massimo/minimo; a questo punto confrontali (anche con quelli trovati con l'hessiano) e potrai determinare tutti gli estremi Se hai ancora problemi, ti posso scrivere la soluzione completa

[salt21]

Anzitutto grazie per la precisione e per il grafico, che mi ha aiutato a capire meglio (che programma hai usato? )

Ora vediamo se ho capito bene. Scrivo la soluzione (spero sia quella giusta ):

Omettendo i calcoli, si ha:
- per il lato a: tratto $ -1<=y<=0 $ ---> trovo il punto $ (0,-1/2) $ , che abbiamo già constatato essere di massimo (in tal caso $ alpha =0 $) ; tratto $ 0<=y<=1 $ ---> trovo il punto $ (0,1/2) $ , che sappiamo essere di massimo.
- per il lato b: tratto $ -2<=x<=1 $ ---> la funzione è costante e vale $ 1/8 $ (può essere?); tratto $ -1<=x<=0 $ ---> ottengo il punto $ (0,1) $ , da valutare nella funzione iniziale.
- per il lato c: trovo il punto $ (-2,-1/2) $ , che abbiamo già constatato essere di massimo (in tal caso $ alpha =-2 $);
- per il lato d: la funzione è costante e vale $ 1/2 $ (può essere?).

A questo punto devo solo confrontare i vari valori ottenuti.

Spero di non aver sbagliato tutto

[Lele0012]

Mi trovo pienamente d'accordo certo che è possibile $f(x(t),y(t))$ sia costante: la superficie, per $y<x^2$, descrive una dorta di dosso, sommetrico rispetto all'asse $y=-1/2$, perciò, lungo tutte le rette parallele ad essa, $f$ è costante (te ne accorgi anche analiticamente, dal fatto che $f(x,y)$ in quei tratti dipende solo da y, quindi, fissata questa, la funzione è costante). Per il grafico ho usato il programma gratuito "geogebra"