Formule di posizione di un rettangolo contenuto in un cerchio

[FreeRaider]

Salve a tutti, prima di tutto vorrei presentarmi. Mi chiamo Frank e nonostante le "matematiche" studiate non riesco a risolvere il problema che segue:

dati un cerchio con raggio = 1000 u (dove u è un'unità di misura) con centro in (0, 0) in un piano cartesiano e un rettangolo con w = 100 e h = 150 ( dove w è la lunghezza della base ed h è l'altezza), come trovo le formule generiche per le coordinate X e Y del vertice alto-destro alto-sinistro del rettangolo, sapendo che il centro del rettangolo è un punto del raggio inclinato di 30° e che il verticebasso-sinistro basso-destro è un punto sulla circonferenza?

Per una maggiore chiarezza, allego un disegno (fatto in CAD) del problema. Nel disegno, sono le formule delle coordinate del punto A che vorrei sapere.

Spero di essere stato chiaro.

Un grazie a tutti.

[anonymous_0b37e9]

... e che il vertice basso-sinistro è un punto sulla circonferenza?

Veramente, guardando il disegno, è il vertice basso-destro che dovrebbe appartenere alla circonferenza.

[FreeRaider]

Maledizione, ho scritto in modo errato. Hai ragione e Il disegno è corretto.

[anonymous_0b37e9]

Indicando con $P(x_P,y_P)$ il vertice del rettangolo appartenente alla circonferenza e con $C(x_C,y_C)$ il centro del rettangolo, dovresti risolvere il sistema comprendente le seguenti $4$ equazioni:

Condizione di appartenenza del punto $P(x_P,y_P)$ alla circonferenza

$x_P^2+y_P^2=r^2$

Condizione di appartenenza del punto $C(x_C,y_C)$ alla retta

$x_C+sqrt3y_C=0$

Distanza orizzontale tra il punto $P(x_P,y_P)$ e il punto $C(x_C,y_C)$ uguale alla semibase

$x_P-x_C=w/2$

Distanza verticale tra il punto $P(x_P,y_P)$ e il punto $C(x_C,y_C)$ uguale alla semialtezza

$y_C-y_P=h/2$

Tuttavia, dopo un po' di manipolazioni:

$\{(x_P^2+y_P^2=r^2),(y_P=-sqrt3/3x_P+sqrt3/6w-h/2):}$

[FreeRaider]

Grazie per la risposta.

Dato che nel frattempo ho risolto il caso in cui l'angolo è pari a zero con le seguenti formule (di cui sono sicuro che essendovi arrivato per tentativi ho omesso sicuramente la parte che riguarda il valore dell'angolo ossia zero gradi):

$ X=r*{1+cos [arcsin ((h)/(2*r) ) ]}-w $
$ Y=r*{1+sin [arcsin ((h)/(2*r) ) ]}-h $

invece di utilizzare il sistema proposto, come posso riutilizzare tali formule tenendo conto della rotazione dell'angolo (da zero a 30 gradi)?

[FreeRaider]

Indicando con $P(x_P,y_P)$ il vertice del rettangolo appartenente alla circonferenza e con $C(x_C,y_C)$ il centro del rettangolo, dovresti risolvere il sistema comprendente le seguenti $4$ equazioni:

Condizione di appartenenza del punto $P(x_P,y_P)$ alla circonferenza
$x_P^2+y_P^2=r^2$

Condizione di appartenenza del punto $C(x_C,y_C)$ alla retta
$x_C+sqrt3y_C=0$

$x_P-x_C=w/2$

$y_C-y_P=h/2$

Tuttavia, dopo un po' di manipolazioni:

$\{(x_P^2+y_P^2=r^2),(y_P=-sqrt3/3x_P+sqrt3/6w-h/2):}$

Ma io non conosco le coordinate né di P né di C

[anonymous_0b37e9]

Mi sono accorto che si poteva impostare un sistema più semplice. Per questo ho modificato.

[FreeRaider]

Tuttavia, dopo un po' di manipolazioni:

$\{(x_P^2+y_P^2=r^2),(y_P=-sqrt3/3x_P+sqrt3/6w-h/2):}$

Con questo sistema trovo le coordinate del punto P, giusto?

Ma a me interesserebbero le coordinate del punto A (vertice alto-sinistro)

[anonymous_0b37e9]

Con questo sistema trovo le coordinate del punto P, giusto?

Certamente.

Ma a me interesserebbero le coordinate del punto A (vertice alto-sinistro)

$\{(x_A=x_P-w),(y_A=y_P+h):}$

[FreeRaider]

La soluzione prospettata è corretta, ma avrei un paio di domande:

1) da dove scaturisce $ sqrt(3) $ in $ x_C + sqrt(3) y_C $ ?
2) se volessi utilizzare le funzioni trigonometriche (come ho fatto io per la risoluzione del caso in cui l'angolo era pari a zero), quale parte devo aggiungere per tenere conto della rotazione?