Dimensione di Krull di un quoziente

[Trilogy]

Ciao a tutti!

C'è un esercizio che sicuramente sarà banale ma non riesco a risolvere in modo chiaro. Ogni volta che penso di aver capito l'idea non riesco a scrivere una dimostrazione precisa. Il testo è questo:

Sia $A$ un anello locale Noetheriano e sia $x_1,\ldots,x_d$ un suo sistema di parametri. Provare che $$\dim A/(x_1,\dots,x_i)=d-i$$ per ogni $i=1,\ldots, d$.

Per la distuguaglianza $\le$ sono a posto con l'Hauptidealsatz. Ma non riesco proprio a mettere giù per bene l'altra disuguaglianza. Credo di non poter usare niente di molto sofisticato, solo le prime definizioni in teoria della dimensione di Krull. Qualcuno può aiutarmi, per cortesia?

[_fabricius_]

Ciao!
Credo ti possa essere d'aiuto il corollario 10.9 del libro Commutative algebra di D. Eisenbud:

Corollario 10.9 Sia \((A, \mathfrak{m})\) un anello locale qualsiasi e sia $M$ un modulo su $A$ finitamente generato, allora per ogni \(x\in \mathfrak m\): \[\text{dim} (M/xM)\ge \text dim(M)-1.\]