dubbio sul secondo vettore indipendente di un autospazio e la relativa base ortonormale

[cagioncino]

Ciao a tutti premetto che con la matematica in generale non sono una cima quindi scusatemi se non uso il lessico appropriato o do prova di non averci capito un cazzo (perché in parte è cosi).
la matrice di partenza è questa
$((9,-2,0),(-2,6,0),(0,0,5))$
Gli autovalori mi vengono $\lambda_1 = 10$ con molteplicità 1 e $\lambda_2 = 5$ con molteplicità 2
Risolvendo il sistema lineare omogeneo per il primo autovalore ho il sistema
$\{(-x + 2y + 0z = 0),(-2x -4y + 0z = 0),(0x + 0y -5z = 0):}$

Da cui ricavo $x = -2y$ e $z = 0$ . Quindi il primo autospazio è costituito dall'autovettore $((-2),(1),(0))$

Per il secondo autovalore 5 ottengo il sistema
$\{(4x -2y + 0z = 0),(-2x + y + 0z = 0),(0x + 0y + 0z = 0):}$
Data la molteplicità 2, i vettori indipendenti devono essere 2 e dal sistema ho il generico vettore $((y/2),(y),(0))$
adesso non so se la procedura è giusta ma il primo che si ricava è $((1/2),(1),(0))$ ed il secondo penso sia (guardando anche altri esercizi sul web dove veniva indicato che il valore di y si poteva scegliere arbitrariamente) $((1),(2),(0))$
Quindi la base ortonormale si trova dividendo la norma di ogni vettore per ogni sua componente.
Il mio dubbio è: nel secondo autospazio cioè quello con due vettori, la norma si calcola prendendo il primo vettore o il secondo o tutti e due (però dopo ci sarebbero due basi ortonormali).
Grazie in anticipo per le risposte.

[dissonance]

A occhio vedi subito che \(\begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 1\end{bmatrix}\) è un autovettore relativo a \(\lambda_2=5\). I due autovettori che hai postato tu non vanno bene perché non sono linearmente indipendenti.

L'errore che commetti è nel risolvere il secondo sistema. La soluzione corretta è
\[
\left\{\begin{bmatrix} \frac12 y \\ y\\ z\end{bmatrix} \ :\ y,z \in \mathbb R\right\}\]

[cagioncino]

Ok ho capito perché z è libero di variare nella terza equazione.
Quindi il vettore $((0),(0),(1))$ costituisce la base ortonormale del secondo autospazio. Grazie!

[feddy]

Il secondo autospazio ha dimensione (leggasi molteplicità geometrica) pari a 2... e una sua base deve avere dimensione 2 ! (la dimensione per definizione è la cardinalità di una base). Dire che $((0),(0),(1))$ è una base ortonormale del secondo autospazio è errato perché il secondo autospazio deve avere 2 vettori.

dissonance infatti ti ha scritto la soluzione corretta, ora devi assegnare due parametri liberi, non solamente uno come hai appena fatto
Il primo vettore sarà $((0),(0),(1))$, il secondo $((1),(2),(0))$.

Per far sì che sia una base ortonormale va bene il procedimento che hai proposto tu...

[cagioncino]

ah giusto i vettori devono essere due. Quando mai non ho fatto lo scientifico prima di prendere economia!
Grazie feddy!

[feddy]

Beh, queste cose non si vedono allo scientifico te lo posso assicurare. Algebra lineare si fa solo all'università ad quello che so io.
E' tutta questione di studio.
Ciao