Studio funzione di due variabili

[salt21]

Dunque, per fare chiarezza e dare uno schema completo dell'esercizio, lo svolgo tutto dall'inizio tenendo in conto i vostri suggerimenti.

Definisco anzitutto il dominio della funzione integranda.

$ Domf(t)={tin R: tin (0,1)uu (1,+oo )} $ .

Devo adesso definire il dominio della funzione integrale, e comincio dal considerare che: esso coincide con il più grande intervallo contenente il punto 0 (punto iniziale della funzione integrale) in cui l'integranda risulta integrabile.

Quindi: $ (0,1)sube DomF $ .

Devo provare ad estendere il $ DomF $ a destra di 1 (non a sinistra di 0 perché qui la funzione integranda non è mai definita, al più posso provare verificare la convergenza in 0 della funzione integrale).

1) Studio della funzione integrale a destra di 1: verifichiamo se l'integrale converge o diverge usando i metodi di convergenza per gli integrali impropri.

Anzitutto notiamo che la funzione integranda presenta in 1 un punto di discontinuità, dato che il:
$ lim_(t -> 1^-) f(t) = lim_(t -> 1^+) f(t) = +oo $ .

Si tratta di una discontinuità di 2^ specie, quindi bisogna studiare in modo specifico la convergenza/divergenza dell'integrale.

Posto: $ r=sqrt(x^2+y^2) $ , con $ rin (0,+oo) $ (si ottiene la funzione integrale G(r) a seguito di questa posizione) , calcoliamo l'integrale improprio di 2^ specie:

$ lim_(r -> 1) int_(0)^(r) f(t) $ .

Poiché la funzione integranda ha segno costante nell'intervallo di integrazione, posso applicare il criterio del confronto asintotico.

Notiamo che, per $ r -> 1 $ si ha:
$ f(t)~ 1/(1-t)^2 $ .

Allora, al $ lim_(r -> 1) $ i due integrali:
$ int_(0)^(r) f(t) $ e $ int_(0)^(r) 1/(1-t)^2 $ avranno lo stesso comportamento.

Vediamo che: $ int_(0)^(r) 1/(1-t)^2 = 1/(1-r)-1$, che al $ lim_(r -> 1) $, dà $ +oo $. Quindi l'integrale $ int_(0)^(r) f(t) $ diverge. Ciò significa che la funzione integrale non è definita per r>1, anzi essa diverge avvicinandoci ad 1.

2) Vediamo, per completezza, se è incluso il valore 0 nel DomG.

Dobbiamo verificare la convergenza della funzione integrale in 0. Notiamo che esiste finito il limite destro della funzione integranda per $ t->0^+ $. Si può facilmente verificare la convergenza del:

$ lim_(a -> 0^+) int_(0)^(a) f(t)dt $ , in quanto: $ |1-lnt|/(lnt)^2->0 $ per $ t->0^+ $ , quindi $ |1-lnt|/(lnt)^2->0 $ può essere maggiorata con una costante positiva $ c $ , $ c in R^+ $ .

Ovvero: $ int_(0)^(a) f(t)dt <= int_(0)^(a) c/(sqrt(t)) dt = 2c*sqrt(a)$ .

Si conclude che: poiché la funzione integrale converge in 0 e diverge in 1, essa ha come dominio:

$ DomG={r in R^+: rin [0,1)} $ . Inoltre, essa è illimitata nel suo insieme di definizione (diverge in 1). Ne consegue che è illimitata nel suo insieme di definizione anche la funzione iniziale f(x,y).

[spugna]

Devo adesso definire il dominio della funzione integrale, e comincio dal considerare che: esso coincide con il più grande intervallo contenente il punto 0 (punto iniziale della funzione integrale) in cui l'integranda risulta integrabile.

Quindi: $ (0,1)sube DomF $ .

Continuo a non capire con che ragionamento ottieni quell'informazione sul dominio di $F$: dire che $F$ è definita in $a \in (0,1)$ equivale a dire che l'integrale da $0$ ad $a$ converge. D'accordo, lo hai dimostrato più avanti, ma è qui che ti serve: se quell'integrale non convergesse, allora $F$ sarebbe definita solo in $0$ (e a quel punto il problema diventerebbe banale).

[salt21]

Ma se la funzione integranda è continua in quell'intervallo e quindi ivi integrabile, allora l'integrale è un integrale di Riemann, cioè è un numero reale e quindi converge, no? Allora non mi basta dire questo per includere l'intervallo nel dominio della funzione integrale e verificare a parte se gli estremi sono inclusi ed eventualmente se il dominio può essere esteso provando la convergenza dell'integrale?

[spugna]

Ma se la funzione integranda è continua in quell'intervallo e quindi ivi integrabile, allora l'integrale è un integrale di Riemann, cioè è un numero reale e quindi converge, no?

Se la funzione è continua nell'intervallo aperto, allora è sicuramente integrabile secondo Riemann, ma niente ti assicura che l'integrale sia una quantità finita! Il procedimento che hai scritto sarebbe sicuramente corretto se la funzione (oltre a essere continua) fosse limitata, ma direi che non è il tuo caso, dato che...

Testo nascosto, fai click qui per vederlo

la funzione integranda tende a $+\infty$ per $t->0^+$

[salt21]

Si ovviamente intendevo l'intervallo aperto (0,1). Comunque ok, allora mi daresti una mano nell'impostare l'esercizio in maniera corretta?

[spugna]

Praticamente va già bene lo svolgimento che hai scritto in precedenza: l'unica cosa da sistemare è, appunto, la stima dell'integrale in un intorno destro di $0$, che è una cosa che va fatta all'inizio per capire com'è fatto il dominio della funzione integrale, e non alla fine "per completezza". Infine (piccola pignoleria) sarebbe meglio dare un altro nome alla funzione integranda perché $f$ indica già la funzione data dal problema.