E' il caso della ricerca d'una primitiva di una funzione del tipo
$f(x) = P(x)·sqrt(x^2 +1)$ (dove $P(x)$ è un polinomio in $x$)
nel quale conviene la posizione $x = sinh(φ)$ da cui consegue:
$sqrt(x^2+1)=cosh(φ)$ ∧ $dx=cosh(φ)·dφ$.
Gli stessi integrali diventano molto meno semplici ignorando le funzioni iperboliche.
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Per esempio, l'ntegrale
$\int\x^2sqrt(x^2+1)dx$
si può fare con la sostituzione
$x=tan(φ) = sin(φ)/cos(φ)$
per cui risulta $sqrt(x^2+1)=1/cos(φ)$ e $dx=1/(cos^2(φ))dφ$; e in definitiva, [ponendo per brevità $s$ in luogo di $sin(φ)$ e $c$ in luogo di $cos(φ)$]:
$\int\x^2sqrt(x^2+1)dx=\int\s^2/c^2·1/c·(dφ)/c^2=\int\s^2/c^5·dφ=\int\s^2/c^6(cdφ) = \int\s^2/(1-s^2)^3 ds$.
Beh: ho detto anche troppo!
Si tratta ora di trovare una primitiva della funzione razionale di $s$
$f(s)=s^2/(1-s^2)^3$
e quindi sostituire nella trovata primitiva $s$ con $x/sqrt(x^2+1)$.
$\int\x^2sqrt(x^2+1)dx$
si può fare con la sostituzione
$x=tan(φ) = sin(φ)/cos(φ)$
per cui risulta $sqrt(x^2+1)=1/cos(φ)$ e $dx=1/(cos^2(φ))dφ$; e in definitiva, [ponendo per brevità $s$ in luogo di $sin(φ)$ e $c$ in luogo di $cos(φ)$]:
$\int\x^2sqrt(x^2+1)dx=\int\s^2/c^2·1/c·(dφ)/c^2=\int\s^2/c^5·dφ=\int\s^2/c^6(cdφ) = \int\s^2/(1-s^2)^3 ds$.
Beh: ho detto anche troppo!
Si tratta ora di trovare una primitiva della funzione razionale di $s$
$f(s)=s^2/(1-s^2)^3$
e quindi sostituire nella trovata primitiva $s$ con $x/sqrt(x^2+1)$.
• Calcolare $\int\x^2sqrt(x^2+1)dx$ ignorando le funzioni iperboliche.
Suggerimento. Calcolare
$G(s) = \int\s^2/(1-s^2)^3 ds$
e poi porre in $G(s)$
$s=x/sqrt(x^2+1)$
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