Salve a tutti, in questo periodo sto studiando la teoria dei reticoli e non riesco a risolvere il seguente esercizio tratto dal libro Lezioni di Algebra Curzio ed 2014 pagina 905 n° 11.1.11 il testo è il seguente:
Riconoscere che il reticolo degli interi positivi (cfr. 11.1.7) non è autoduale, mentre lo è il reticolo dei sottogruppi del gruppo quadrinomio.
Non riesco a provare il primo punto. Ecco il mio ragionamento:
Io so che il reticolo degli interi positivi è $ (NN,<=) $ ove $ <= $ è la relazione d'equivalenza definita ponendo $ x<=y hArr x| y $ . Si riconosce facilmente che $ x^^ y=MCD(x,y) $ e $ xvv y=mcm(x,y) $ .
Il duale di $ (NN,<=) $ è dato da $ (NN,<=') $ ove $ x<='y hArr y<=x $ .
$ (NN,<=) $ è autoduale se esiste una similitudine tra $ (NN,<=) $ e $ (NN,<=') $ , ricordo che una similitudine è un'applicazione biunivoca $ f $ tra due insiemi ordinati $ S $ e $ T $ tale che $ x<y $ in $ S $ implica $ f(x)<f(y) $ in $ T $ .
Allora se $ (NN,<=) $ e $ (NN,<=') $ fossero simili esisterebbe una funzione $ f $ tale che:
1) $ f $ è biunivoca;
2) da $ x<y $ segue $ f(x)<'f(y) $ cioè $ f(y)<f(x) $ .
Per cui si deve far vedere che non esiste alcuna funzione $ f $ biunivoca tale che da $ x| y $ segua $ f(y)| f(x) $ .
La mia idea era di far vedere che se vale la condizione: da $ x| y $ segua $ f(y)| f(x) $ , allora $ f $ non può essere iniettiva e perciò neanche biunivoca e ciò proverebbe la non esistenza ma non riesco a provarlo. help ?? Saluti