recentemente mi sono trovato a dover formulare le equazioni che descrivono la cinematica diretta e inversa di un cinematismo (costituito da un biella-manovella e altre bielle fulcrate in alcuni punti). Sono partito con la cinematica diretta e nell'equazione mi ritrovo un termine in \(\displaystyle \sin(\gamma) \) e uno in \(\displaystyle \cos(\gamma) \), quindi usando la goniometria trasformo il coseno in \(\displaystyle \cos(\gamma)=+\sqrt(1-\sin^2(\gamma)) \) così da poter risolvere rispetto a \(\displaystyle \gamma \). Ovviamente ora comparendo la radice mi tocca usare uno sviluppo in serie di McLaurin della funzione \(\displaystyle +\sqrt(1-x^2) \) con \(\displaystyle x=\sin(\gamma) \).
Con opportune valutazioni mi sono fermato al 5° ordine e ottengo questo polinomio:
\begin{equation}T_5(x)=1+x^2/4 - x^3/8 + x^4 5/64 - x^5 7/128\end{equation}
Sostituendo lo sviluppo nell'equazione della cinematica diretta ottengo ovviamente un polinomio di 5° grado. Prima di pormi il problema di come risolvere un'equazione piuttosto lunga di 5° grado ho provato ad eliminare i tre termini di grado 3° 4° 5° risolvendo una più semplice equazione di 2° grado e con un pò di sorpresa le soluzioni cercate non sono reali. Ora mi sorgono spontanee due domande da ingenuo:
- - Cosa rappresentano fisicamente? Immagino che mi stiano dicendo che la mia descrizione matematica (che è corretta) non è completa per descrivere il problema o mi sbaglio?
- Se aumento il grado dell'equazione considerando anche i termini che ho provato ad eliminare ho speranza di trovare almeno una soluzione reale o è matematicamente impossibile?
Anche ogni suggerimento su una soluzione alternativa è ben accetto.
Grazie e perdonate la mia ignoranza matematica.