Corollari del Lemma di Steinitz

[Kernul]

Qualcuno potrebbe dirmi i corollari del Lemma di Steinitz (e magari anche la dimostrazione se possibile)? Sono riuscito a trovare solo la definizione e dimostrazione del lemma stesso ma non dei suoi corollari. Sul mio libro lo tratta solo come "teorema dello scambio" e su internet non trovo nessun corollario.

[feddy]

Il th. del completamento della base non so se l'hai trattato come corollario... è comunque facilmente reperibile

I corollari in generale sono:
In uno spazio vettoriale di dimensione $n$:
1. $n+1$ sono sempre linearmente dipendenti.
Dim.:
Supponiamo di avere un insieme $L={v_1,...,v_n,v_{n+1}}$ di vettori linearmente indipendenti e un insieme $g={w_1,...,w_n}$ di generatori. Per il lemma di Steinitz, allora $n>=n+1$, ma questo è assurdo. Quindi un insieme formato da $n+1$ elementi è linearmente dipendete in questo spazio vettoriale.

2. $n$ vettori linearmente indipendenti formano sempre una base.
Dim:
Sia $A={v_1,...,v_n}$ un insieme linearmente indipendente. Se tali vettori non fossero generatori, allora potremmo trovare un $w$ tale che $w\notin<A>$. Pertanto avremo un insieme $A'={w,v_1,...,v_n}$ sarebbe formato da vettori linearmente indipendenti. Ma poichè A è formata da generatori, allora si ha $n+1<=n$, il che è assurdo.

3.Se possiedo un insieme di generatori, deve contenere almeno $n$ vettori.
Dim.: Consideriamo un insieme di generatori $A={v_1,...,v_k}$.
Per Steinitz si ha: $k>=n$. Se $k=n$, allora è una base.
Sia k>n. Allora si ha una base con più di $n$ elementi, pertanto uno di essi, sia $v_k$ si scrive come combinazione lineare degli altri.
Allora $A={v_1,...,v_{k-1}}$ è un insieme di generatori.
Se $n =k-1$ , ho una base, altrimenti itero tale procedimento per $n-k$ passi, fino ad ottenere un insieme linearmente indipendente di generatori, che per definizione è una base.

[feddy]

Per completezza ti allego altri due noti risultati del lemma di steinitz.

1. Se $B={v_1,...,v_n}$ e $C={v_1,...,v_m}$ sono due basi di $V$, allora hanno lo stesso numero di elementi.
Dim.:
Si lavora per doppia inclusione.
Consideriamo inizialmente $B$ come insieme linearmente indipendente e $C$ insieme di generatori (una base è per definizione un insieme di generatori lin.ind). Per Steinitz: $m>=n$.
Considerando il caso simmetrico si ha $n>=m$. Pertanto concludiamo $m=n$.
q.e.d

Th. del completamento della base.
Ogni insieme di vettori linearmente indipendente di V può essere completato a una base di V.

Dim.:
Consideriamo un insieme di vettori lin. indipendenti $A={v_1,...,v_m}$. Consideriamo ora una base $B={v_1,...,v_n}$di V, spazio vettoriale finitamente generato di dimensione $n$.
Per Steinitz, si ha che esiste un insieme di generatori formato dai vettori di $A$ e da $n-m$ vettori di $B$.
Tale insieme lo denotiamo con $B'={v_1,...,v_m, v_{m+1},...,v_n}$. Tale insieme è un insieme di generatori lin. indip. e quindi una base di V.
q.e.d

[Kernul]

Wow! Quindi i corollari sono 3.
Grazie mille!

[feddy]

Dipende dal modo in cui vengono presentati In linea di massima sono questi, a meno di riformulazioni equivalenti. Se qualcosa non ti torna chiedi pure

[Kernul]

Del secondo corollario, che significa che $w$ è uguale alla non appartenenza di $< A >$?
Nel terzo corollario, non dovrebbe essere $k < n$ invece di $k > n$? Perché l'insieme di generatori di $A$ non forma una base che al massimo può avere $k$ vettori?

[feddy]

L'uguale non c'entra niente, ho sbagliato a scrivere. Ora lo modifico

Nel terzo corollario $k>n$ è corretto. Tale insieme di generatori DEVE possedere n elementi per essere una base ! Il nostro obiettivo è trovare un insieme di generatori di $n$ elementi.

[Kernul]

Oh capisco. Grazie!

[feddy]

non c'è di che ... se hai domande sono qui