[EX] Passaggi al Limite Sotto Segno di Integrale

[gugo82]

@Delirium: Well done!

Per il resto? Nessuno si vuole cimentare?
Sono esercizietti grosso modo standard...

[cooper]

riesumo questo post per esercitarmi in vista dell'esame ormai imminente! spero nelle vostre correzioni e consigli, anche perchè non so se quello che ho fatto è sempre lecito o meno !
Esercizio 1:

Testo nascosto, fai click qui per vederlo

Sia dato il limite $ lim_(n) int_(0)^(+oo)f_n (x) dx $ con $ f_n(x):= x^n e^(-nx) $
la successione di funzioni tende (per $n -> +oo$) alla funzione limite $f(x)=0$.
per questo primo esercizio ho giustificato il passaggio al limite sotto il segno di integrale con un'operazione che non so se sia esattamente consentita......
valutando la monotonia della successione ho scoperto che è decrescente. infatti si ha che $ f_(n+1)/(f_n)=x/(e^x)<1, AAnin NN $
a questo punto l'ho "fatta diventare" crescente introducendo un segno meno, cambiando il limite di partenza in $ -lim_(n) int_(0)^(+oo) -x^n e^(-nx) dx $
la nuova successione di funzioni è ora crescente. tutte le ipotesi del teorema di convergenza monotona sono rispettate quindi il limite dato fa zero.

Esercizio 2:

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Sia dato il limite $ lim_(n) int_(1)^(+oo)f_n (x) dx $ con $ f_n(x):= n/(1+n^2 x^2) $
qui ho pensato di maggiorare tutto l'integrale arrivando a dire che $ |int_(1)^(+oo)n/(1+n^2x^2)dx| <= int_(1)^(+oo)|n/(1+n^2x^2)|dx <= n int_(1)^(+oo)1/(n^2x^2)dx $
il tutto si riduce quindi a $ 1/n int_(1)^(+oo)1/(x^2)dx $
poichè l'integrale è finito nell'intervallo considerato (l'unico intorno che crea problemi è quello di infinito ma lì l'integranda è sommabile poiché 2 > 1) rimane:

$ lim_(n-> +oo)1/n M=0 $

Esercizio 3:

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Sia dato il limite $ lim_(n) int_(0)^(1) n f_n (x) dx $ con $ f_n(x):= x^n (1-x) $
qui ho pensato di svolgere i prodotti e ricondurmi a calcolare il limite di:
$ int_(0)^(1) n x^n dx - int_(0)^(1) n x^(n+1) dx $
faccio ora il cambio di variabili seguente: $ y:=x^n rArr nx^(n-1)dx=dy $
sostituendo negli integrali e sapendo che il limite della somma è uguale alla somma dei limiti mi riconduco ad avere

$ lim_n int_(0)^(1) 1/y^(1/n) dy - lim_n int_(0)^(1) dy $

ora:

• nel primo addendo ho fatto come nel primo esercizio: la successione decrescente l'ho fatta diventare crescente con un segno meno che ho anche messo fuori dal limite. a questo punto applico il teorema della convergenza monotona a $f_n (y):= 1/y^(1/n)$ che ha per funzione limite 1;
• nel secondo addendo basta svolgere l'integrale, che vale 1.

il limite di partenza vale allora: $ -lim_n 1 - lim_n 1 = -2 $

Esercizio 4:

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Sia dato il limite $ lim_(n) int_(B(0;1)) (xy+1)/(sqrt(1/n^2+x^2+y^2)) dxdy $
la funzione limite di $ f_n (x,y):=(xy+1)/(sqrt(1/n^2+x^2+y^2)) $ per $n-> +oo$ vale $ f (x,y)=(xy+1)/(sqrt(x^2+y^2)) $
qui ho pensato di maggiorare in questo modo:
$ |xy+1|/(sqrt(1/n^2+x^2+y^2)) <= |xy|/(sqrt(1/n^2+x^2+y^2))+1/sqrt(1/n^2+x^2+y^2) <= |xy|/(sqrt(x^2+y^2))+1 := g(x,y)$
risulta ora che $g(x,y) in L(B_(0,1))$. tutte le ipotesi del teorema di convergenza dominata sono soddisfatte per cui il passaggio al limite sotto il segno di integrale è consentito. devo quindi risolvere l'integrale doppio seguente (avendo già fatto il passaggio in coordinate polari con le semplificazioni del caso):

$ int_(0)^(2 pi) int_(0)^(1)(rho^2 costheta sintheta+1) drho d\theta=int_(0)^(2pi)(1/3 costheta sintheta+1) d\theta=2pi $

spero di non aver detto troppe boiate!!!

[gugo82]

riesumo questo post per esercitarmi in vista dell'esame ormai imminente! spero nelle vostre correzioni e consigli, anche perchè non so se quello che ho fatto è sempre lecito o meno !

Riesumiamo, riesumiamo pure...

Esercizio 1:

Testo nascosto, fai click qui per vederlo

Sia dato il limite $ lim_(n) int_(0)^(+oo)f_n (x) dx $ con $ f_n(x):= x^n e^(-nx) $
la successione di funzioni tende (per $n -> +oo$) alla funzione limite $f(x)=0$.
per questo primo esercizio ho giustificato il passaggio al limite sotto il segno di integrale con un'operazione che non so se sia esattamente consentita......
valutando la monotonia della successione ho scoperto che è decrescente. infatti si ha che $ f_(n+1)/(f_n)=x/(e^x)<1, AAnin NN $
a questo punto l'ho "fatta diventare" crescente introducendo un segno meno, cambiando il limite di partenza in $ -lim_(n) int_(0)^(+oo) -x^n e^(-nx) dx $
la nuova successione di funzioni è ora crescente. tutte le ipotesi del teorema di convergenza monotona sono rispettate quindi il limite dato fa zero.

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Barbatrucco!

Ma comunque basta molto meno: infatti, dato che \(f_n(x)\leq f_1(x)\) ovunque (come segue dalla monotònia della successione) e dato che \(\phi(x):=f_1(x)\) è continua (ergo misurabile), positiva e sommabile (per noti fatti di Analisi I), sono soddisfatte tutte le ipotesi del Teorema di Convergenza Dominata e il limite passa sotto integrale tranquillamente.

Quindi:
\[
\lim_n \int_0^{+\infty} x^n\ \mathbf{e}^{-nx}\ \text{d} x = \int_0^{+\infty} \lim_n x^n\ \mathbf{e}^{-nx}\ \text{d} x = 0
\]
dato che:
\[
x^n\ \mathbf{e}^{-nx} = \Big(\underbrace{\frac{x}{\mathbf{e}^x}}_{<1}\Big)^n \to 0\qquad \text{per $n\to \infty$}
\]
per ogni $x>=0$.

Esercizio 2:

Testo nascosto, fai click qui per vederlo

Sia dato il limite $ lim_(n) int_(1)^(+oo)f_n (x) dx $ con $ f_n(x):= n/(1+n^2 x^2) $
qui ho pensato di maggiorare tutto l'integrale arrivando a dire che $ |int_(1)^(+oo)n/(1+n^2x^2)dx| <= int_(1)^(+oo)|n/(1+n^2x^2)|dx <= n int_(1)^(+oo)1/(n^2x^2)dx $
il tutto si riduce quindi a $ 1/n int_(1)^(+oo)1/(x^2)dx $
poichè l'integrale è finito nell'intervallo considerato (l'unico intorno che crea problemi è quello di infinito ma lì l'integranda è sommabile poiché 2 > 1) rimane:

$ lim_(n-> +oo)1/n M=0 $

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Qui, evidentemente, si può fare addirittura il conto esplicito, in quanto le primitive di $f_n(x):=\frac{n}{1+n^2x^2}$ sono arcotangenti, i.e. $F_n(x) = \arctan (nx)$ (a meno di costanti additive).

Se, com'è implicito nel testo dell'esercizio, si vuole evitare il calcolo esplicito, basta notare che per $x>=1$ si ha \(f_{n+1}(x) \leq f_n(x)\) e ragionare come prima, poiché \(f_1(x)=\frac{1}{1+x^2}\) è continua (ergo misurabile), positiva e sommabile.

Quindi:
\[
\lim_n \int_1^{+\infty} \frac{n}{1+n^2x^2}\ \text{d} x = \int_1^{+\infty} \lim_n \frac{n}{1+n^2x^2}\ \text{d} x = 0\; .
\]

Esercizio 3:

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Sia dato il limite $ lim_(n) int_(0)^(1) n f_n (x) dx $ con $ f_n(x):= x^n (1-x) $
qui ho pensato di svolgere i prodotti e ricondurmi a calcolare il limite di:
$ int_(0)^(1) n x^n dx - int_(0)^(1) n x^(n+1) dx $
faccio ora il cambio di variabili seguente: $ y:=x^n rArr nx^(n-1)dx=dy $
sostituendo negli integrali e sapendo che il limite della somma è uguale alla somma dei limiti mi riconduco ad avere

$ lim_n int_(0)^(1) 1/y^(1/n) dy - lim_n int_(0)^(1) dy $

ora:

• nel primo addendo ho fatto come nel primo esercizio: la successione decrescente l'ho fatta diventare crescente con un segno meno che ho anche messo fuori dal limite. a questo punto applico il teorema della convergenza monotona a $f_n (y):= 1/y^(1/n)$ che ha per funzione limite 1;
• nel secondo addendo basta svolgere l'integrale, che vale 1.

il limite di partenza vale allora: $ -lim_n 1 - lim_n 1 = -2 $

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In questo caso basta notare che per $0<= x <=1$ le quantità $x^n$ ed $1-x$ sono non negative e non superano $1$, ergo il loro prodotto è $<=1$; pertanto (visto anche che l'insieme di integrazione ha misura finita) si può applicare il Teorema della Convergenza Limitata e passare al limite sotto integrale tranquillamente.

Quindi:
\[
\lim_n n\ \int_0^1 x^n\ (1-x)\ \text{d}x = \int_0^1 \lim_n n\ x^n\ (1-x)\ \text{d} x = 0\; .
\]

Un altro modo per provare il passaggio al limite sotto integrale sta nel notare che la funzione integranda $f_n(x)$ presenta massimo assoluto in $[0,1]$ nel punto $x_n=n/(n+1)$; poiché abbiamo:
\[
M_n := f_n\left( \frac{n}{n+1}\right) = \left( \frac{n}{n+1}\right)^{n+1}\underbrace{\leq \frac{1}{\mathbf{e}}}_{\text{(M)}}\; ,
\]
con la maggiorazione (M) valida per noti fatti di Analisi I, concludiamo che è possibile invocare il TdCL come sopra.

Esercizio 4:

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Sia dato il limite $ lim_(n) int_(B(0;1)) (xy+1)/(sqrt(1/n^2+x^2+y^2)) dxdy $
la funzione limite di $ f_n (x,y):=(xy+1)/(sqrt(1/n^2+x^2+y^2)) $ per $n-> +oo$ vale $ f (x,y)=(xy+1)/(sqrt(x^2+y^2)) $
qui ho pensato di maggiorare in questo modo:
$ |xy+1|/(sqrt(1/n^2+x^2+y^2)) <= |xy|/(sqrt(1/n^2+x^2+y^2))+1/sqrt(1/n^2+x^2+y^2) <= |xy|/(sqrt(x^2+y^2))+1 := g(x,y)$
risulta ora che $g(x,y) in L(B_(0,1))$. tutte le ipotesi del teorema di convergenza dominata sono soddisfatte per cui il passaggio al limite sotto il segno di integrale è consentito. devo quindi risolvere l'integrale doppio seguente (avendo già fatto il passaggio in coordinate polari con le semplificazioni del caso):

$ int_(0)^(2 pi) int_(0)^(1)(rho^2 costheta sintheta+1) drho d\theta=int_(0)^(2pi)(1/3 costheta sintheta+1) d\theta=2pi $

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Giusto, ad occhio e croce.

spero di non aver detto troppe boiate!!!

Come vedi, no.
Serve solo un po' di esperienza in più per semplificare i ragionamenti.

[cooper]

ti ringrazio per le correzioni e per gli utili spunti per semplificarmi la vita in futuro!