@Delirium: Well done!
Per il resto? Nessuno si vuole cimentare?
Sono esercizietti grosso modo standard...
cooper ha scritto:riesumo questo post per esercitarmi in vista dell'esame ormai imminente! spero nelle vostre correzioni e consigli, anche perchè non so se quello che ho fatto è sempre lecito o meno !
cooper ha scritto:Esercizio 1:Testo nascosto, fai click qui per vederloSia dato il limite $ lim_(n) int_(0)^(+oo)f_n (x) dx $ con $ f_n(x):= x^n e^(-nx) $
la successione di funzioni tende (per $n -> +oo$) alla funzione limite $f(x)=0$.
per questo primo esercizio ho giustificato il passaggio al limite sotto il segno di integrale con un'operazione che non so se sia esattamente consentita......
valutando la monotonia della successione ho scoperto che è decrescente. infatti si ha che $ f_(n+1)/(f_n)=x/(e^x)<1, AAnin NN $
a questo punto l'ho "fatta diventare" crescente introducendo un segno meno, cambiando il limite di partenza in $ -lim_(n) int_(0)^(+oo) -x^n e^(-nx) dx $
la nuova successione di funzioni è ora crescente. tutte le ipotesi del teorema di convergenza monotona sono rispettate quindi il limite dato fa zero.
cooper ha scritto:Esercizio 2:Testo nascosto, fai click qui per vederloSia dato il limite $ lim_(n) int_(1)^(+oo)f_n (x) dx $ con $ f_n(x):= n/(1+n^2 x^2) $
qui ho pensato di maggiorare tutto l'integrale arrivando a dire che $ |int_(1)^(+oo)n/(1+n^2x^2)dx| <= int_(1)^(+oo)|n/(1+n^2x^2)|dx <= n int_(1)^(+oo)1/(n^2x^2)dx $
il tutto si riduce quindi a $ 1/n int_(1)^(+oo)1/(x^2)dx $
poichè l'integrale è finito nell'intervallo considerato (l'unico intorno che crea problemi è quello di infinito ma lì l'integranda è sommabile poiché 2 > 1) rimane:$ lim_(n-> +oo)1/n M=0 $
cooper ha scritto:Esercizio 3:Testo nascosto, fai click qui per vederloSia dato il limite $ lim_(n) int_(0)^(1) n f_n (x) dx $ con $ f_n(x):= x^n (1-x) $
qui ho pensato di svolgere i prodotti e ricondurmi a calcolare il limite di:
$ int_(0)^(1) n x^n dx - int_(0)^(1) n x^(n+1) dx $
faccio ora il cambio di variabili seguente: $ y:=x^n rArr nx^(n-1)dx=dy $
sostituendo negli integrali e sapendo che il limite della somma è uguale alla somma dei limiti mi riconduco ad avere$ lim_n int_(0)^(1) 1/y^(1/n) dy - lim_n int_(0)^(1) dy $
ora:il limite di partenza vale allora: $ -lim_n 1 - lim_n 1 = -2 $
- nel primo addendo ho fatto come nel primo esercizio: la successione decrescente l'ho fatta diventare crescente con un segno meno che ho anche messo fuori dal limite. a questo punto applico il teorema della convergenza monotona a $f_n (y):= 1/y^(1/n)$ che ha per funzione limite 1;
- nel secondo addendo basta svolgere l'integrale, che vale 1.
cooper ha scritto:Esercizio 4:Testo nascosto, fai click qui per vederloSia dato il limite $ lim_(n) int_(B(0;1)) (xy+1)/(sqrt(1/n^2+x^2+y^2)) dxdy $
la funzione limite di $ f_n (x,y):=(xy+1)/(sqrt(1/n^2+x^2+y^2)) $ per $n-> +oo$ vale $ f (x,y)=(xy+1)/(sqrt(x^2+y^2)) $
qui ho pensato di maggiorare in questo modo:
$ |xy+1|/(sqrt(1/n^2+x^2+y^2)) <= |xy|/(sqrt(1/n^2+x^2+y^2))+1/sqrt(1/n^2+x^2+y^2) <= |xy|/(sqrt(x^2+y^2))+1 := g(x,y)$
risulta ora che $g(x,y) in L(B_(0,1))$. tutte le ipotesi del teorema di convergenza dominata sono soddisfatte per cui il passaggio al limite sotto il segno di integrale è consentito. devo quindi risolvere l'integrale doppio seguente (avendo già fatto il passaggio in coordinate polari con le semplificazioni del caso):$ int_(0)^(2 pi) int_(0)^(1)(rho^2 costheta sintheta+1) drho d\theta=int_(0)^(2pi)(1/3 costheta sintheta+1) d\theta=2pi $
cooper ha scritto:spero di non aver detto troppe boiate!!!
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