Linee di flusso,traiettorie e linee di fumo

[Iris94]

Salve a tutti,
non ho ben capito perché le traiettorie, le linee di flusso e le linee di fumo coincidono se il moto è stazionario

dato che le traittorie sono queste:


le linee di fumo sono queste:


e le linee di flusso sono queste:


riporto quello che ha detto "navigatore" nella discussione "Linea di corrente (o di flusso)?" ( qui viewtopic.php?f=19&t=145744&start=10)

Se invece si considera una particella fluida che all'istante t0 si trova in un punto $M_0$ , questa in un intervallo $dt$ si sposta di un segmento $M_0 M_1=v_0 dt$ lungo la propria traiettoria, che coincide col segmento di linea di corrente $L_0$ relativa all'istante $t_0$, che aveva $v_0$ come tangente in $M_0$.
Ma non è detto che quando la particella giunge in $M_1$ la velocità sia la stessa che esisteva, in $M_1$ , all'istante $t_0$: quindi in $M_1$ la traiettoria della particella ivi giunta si distacca dalla linea di corrente $L_0$.

Questo perché in generale il moto non è permanente . Se invece il moto è permanente (o stazionario che dir si voglia) , allora tutte le particelle che passano per un certo punto hanno, in quel punto, la stessa velocità , perché v in quel punto non dipende dal tempo. Le istantanee del campo di velocità scattate in istanti diversi sono uguali.
Perciò in tal caso (moto permanente) traiettorie e linee di corrente coincidono.

Se le velocità sono uguali perché dovrebbero essere sempre tangenti alla traiettoria della particella ? dato che la traiettoria cambia direzione,come fa la velocità ad essere sempre tangente se indipendente dal tempo ? forse perché anche la traiettoria conserva la stessa direzione non variando nel tempo ? ma se la traiettoria conserva la stessa direzione e ad esempio la particella deve aggirare un corpo come fa ?

Inoltre ho un altro dubbio che sopra non è stato trattato ossia : le linee di fumo come possono mai coincidere con le altre due se il moto è stazionario ? oppure le linee di fumo si possono vedere come l'insieme delle traiettorie ? eppure anche se si vedessero cosi non riesco proprio a capire come possano mai coincidere se il moto è stazionario

[TonyCOD]

Non ho ben capito il tuo primo dubbio sinceramente, cioè, se il moto è stazionario la velocità di una particella è per definzione sempre tangente ad una streamline.
Per l' ultimo punto assumiamo un campo velocità stazionario. Immagina una particella di massa "al limite" nulla che viene rilasciata in un punto, in ogni punto la strada infinitesima che fa è SEMPRE ds=V dt (con V vettore) ovvero segue la streamline, siccome il campo è stazionario anche le particelle rilasciate successivamente faranno lo stesso percorso perchè V non è cambiato in nessun punto per l' assunzione di permanenza del campo, pertanto la "linea fumo" coincide per forza con la streamline, stesso discorso per la pathline.

[Iris94]

Quindi se il moto è stazionario tutte le particelle seguiranno una stessa traiettoria ( cioè una stessa curva) perché il vettore velocità è costante e quindi si muove sempre in quel determinato modo, descrivendo sempre la stessa curva per tutte le particelle ?
cioè ad esempio descrivono tutte questa curva :



e quindi descrivendo un'unica curva identica la traiettoria,la linea di fumo e la linea di flusso coincidono ?

[TonyCOD]

si esatto, sottolineo però (per mettere i puntini sulle i) che moto stazionario significa che la derivata temporale in un punto della caratteristica di un fluido (V, P, Vorticosità, ecc..) sono nulle ma null' altro si può dire sulla derivata spaziale.

[Iris94]

Nulla si può dire sulla derivata spaziale...nel senso che non possiamo dire precisamente quale delle infinite traiettorie seguirà ? in questo senso o in un altro ?

Mi è venuto un altro dubbio...il moto dato che la velocità è costante può essere solo rettilineo giusto ?

P.S ti ringrazio per l'aiuto che mi stai fornendo

[TonyCOD]

La derivata spaziale indica come varia il vettore velocità spostandosi da un punto ad un altro
Non capisco bene la tua seconda domanda, il moto di cosa?

[Iris94]

Ho capito il fatto che la velocità è costante nel tempo...ovviamente cambia punto e cambia la velocità (ad esempio nel punto (1,2,3) avremmo sempre la stessa velocità anche per la particella che passerà li dopo 50 anni)...

1)ma non riesco proprio a capire come mai la velocità se dipendente solo dallo spazio fa si che traiettoria e linea di flusso andrebbero a coincidere (dato che la velocità è sempre tangente alla traiettoria mentre la linea di flusso rappresenta quella linea che è sempre tangente al vettore velocità di una particella elementare di fluido indipendentemente se il moto è stazionario o meno) quindi perché se non stazionario non coinciderebbero lo stesso ?

2)e poi dato che le linee di flusso sono istantanee come possono coincidere con la traiettoria, se la traiettoria viene descritta nel tempo mentre le linee di flusso vengono prese in un istante ?

3)per le linee di fumo non so proprio come possa essere tangente dato che dal disegno sono completamente diverse dalle traiettorie e linee di flusso che viaggiano in orizzontale, mentre le altre (cioè quelle di fumo) viaggiano in verticale (a meno che le linee di fumo non si possano vedere come un insieme di traiettorie diciamo come un "tubo di traiettorie")

4)per caso le particelle si fanno partire tutte da uno stesso punto P (ovviamente una dopo l'altra) e quindi essendo la velocità dipendente dallo spazio se la prima particella descrive una traiettoria tutte le particelle a seguire descriveranno la stessa traiettoria ?

5) e dato che è unica (cioè una sola curva) coincide con le linee di flusso ( anche se non vedo la differenza tra linee di flusso e traiettorie sia se il moto è stazionario o meno) e essendo unica la curva per forza la linea di fumo deve coincidere con le altre due (poiché le linee di fumo all'istante $ t_0 + triangle t$ sono quelle che ottengo andando a selezionare in quell'istante le posizioni delle varie particelle che sono passate da questo punto a partire dall'istante $t_0$ fino a $ t_0 + triangle t$ e pertanto essendo unica la curva per forza deve coincidere con la traiettoria)

P.S. Ti sarei grato se me lo spiegassi anche con un discorso proprio "terra terra" magari con risposte divise per ciascuno dei punti
P.P.S. Chiedo scusa in anticipo per aver usato termini poco adeguati ma ho cercato di spiegare i miei dubbi in modo più semplice possibile (sempre se sono stato chiaro )

[TonyCOD]

Vedo ora la tua domanda, temo che ti fare più confusione che altro! Vediamo se qualcun' altro risponde