Intensità dell'onda polarizzata ellitticamente

[Vincenzo10]

Nella trattazione classica il vettore E descrive una ellisse allorquando i suoi due componenti $E_y$ e $E_z$ si possono esprimere come $E_(y0) sen(Kx-omega t)$ e $E_(z0) cos(Kx-omega t)$ con $E_(y0) \ne E_(z0)$
Tuttavia posso ottenere una ellisse anche introducendo una fase (p.es. aggiuntiva a quella che già implicitamente è presente nel seno rispetto al coseno) e quindi partendo da un cerchio. Ovvero $E_(0) sen(Kx-omega t + \phi)$ e $E_(0) cos(Kx-omega t)$. In cui ovviamente $E_(y0) = E_(z0) = E_(0)$. Se io ora vado a calcolare l'Intensità mediante la somma $ I = \eta E_(y0) ^2/2 + \eta E_(z0)^2/2 $ ottengo il risultato $\eta E_(0)^2$ che è sbagliato tranne che per $\phi = 0$ (caso del cerchio). In particolare per $\phi = pi/2$ (caso in cui l'ellisse degenera in una linea retta a 45 gradi) il risultato è il doppio di quello giusto. Perciò quando si dice che l'intensità di un fascio polarizzato circolarmente non dipende dalla differenza di fase si dice una inesattezza. Anche perché se c'è una differenza di fase diversa da $\phi = pi/2$ il fascio non è più circolare ma ellittico.
In conclusione può darsi che in questo mio ragionamento ci sia qualcosa di storto, anche banale, che non riesco a vedere. Ringrazio chi vorrà darmi un aiuto.

Nota aggiunta il 6 settembre.
Così avevo scritto quando non avevo ancora approfondito il problema. Il concetto errato è che l'intensità possa dipendere dalla fase in quanto essa cambia il tipo di figura generata dalla composizione dei due oscillatori ortogonali. Dopo una serie di passaggi sono prevenuto a tre equazioni semplici che consentono di trovare l'ampiezza del campo massimo, quella del campo minimo e l'angolo di pendenza del campo massimo rispetto alle ascisse. In funzione ovviamente delle ampiezze dei due campi ortogonali e del loro angolo di fase. Naturalmente c'è la dimostrazione che la somma dei quadrati delle ampiezze dei semiassi principali di tutte le ellissi (e delle loro degenerazioni circolari e lineari) è costante e non dipende quindi dalla fase.

Nota aggiunta il 18 settembre
Nell'ultimo post del 16 ho esposto le tre equazioni con cui si risolve il cosiddetto problema inverso. Adesso la trattazione è completa e merita una riflessione critica che mi propongo di eseguire sotto un altro titolo.
Chi è interessato mi dia segno della sua attenzione. Troverà in me un soggetto simpatico e collaborativo.

[RenzoDF]

Scusami se ti rispondo io ma, in attesa di risposte più autorevoli, mi sento chiamato in causa e provo quindi a chiarire cosa intendevo dire nel precedente thread sulla questione.

Nella trattazione classica il vettore E descrive una ellisse allorquando i suoi due componenti $E_y$ e $E_z$ si possono esprimere come $E_(y0) sen(Kx-omega t)$ e $E_(z0) cos(Kx-omega t)$ con $E_(y0) \ne E_(z0)$

Certo, e per generalizzare possiamo introdurre anche qui una fase $E_(y0) sen(Kx-omega t)$ e $E_(z0) cos(Kx-omega t+\phi)$ .

Tuttavia posso ottenere una ellisse anche introducendo una fase (p.es. aggiuntiva a quella che già implicitamente è presente nel seno rispetto al coseno) e quindi partendo da un cerchio. Ovvero $E_(0) sen(Kx-omega t + \phi)$ e $E_(0) cos(Kx-omega t)$. In cui ovviamente $E_(y0) = E_(z0) = E_(0)$.

Non c'è ombra di dubbio.

Se io ora vado a calcolare l'Intensità mediante la somma $ I = \eta E_(y0) ^2/2 + \eta E_(z0)^2/2 $ ottengo il risultato $\eta E_(0)^2$ che è sbagliato tranne che per $\phi = 0$ (caso del cerchio).

Non vedo perché dovrebbe essere sbagliato¹.

In particolare per $\phi = pi/2$ (caso in cui l'ellisse degenera in una linea retta a 45 gradi) il risultato è il doppio di quello giusto.

Anche in questo caso, a mio modestissimo parere, il risultato è quello corretto, in quanto il valore massimo del campo elettrico risulta $E_M=\sqrt{2}E_0$.

Perciò quando si dice che l'intensità di un fascio polarizzato circolarmente non dipende dalla differenza di fase si dice una inesattezza. Anche perché se c'è una differenza di fase diversa da $\phi = pi/2$ il fascio non è più circolare ma ellittico.

E per una polarizzazione ellittica generalmente esprimibile come già detto dalle relazioni

$E_(y0) sen(Kx-omega t)$ e $E_(z0) cos(Kx-omega t +\phi)$ con $E_(y0) \ne E_(z0)$

a mio parere, dovrebbe sempre risultare, indipendentemente dalla fase,

$ I = \frac { E_(y0) ^2}{2 Z} + \frac { E_(z0) ^2}{2 Z} $

dove con $Z$ intendo indicare l'impedenza intrinseca $\sqrt{\mu/\epsilon}=E/H$.

Come dicevo, l'apparente "stranezza" può essere spiegata ricordando che quella espressione della media integrale non è altro che il valor medio (nel tempo T) del modulo del vettore di Poynting ($\vec S=\vec E \times \vec H$), ovvero il valore medio della potenza per unità di superficie attraverso un piano normale alla direzione di propagazione e di conseguenza, esprimendo il campo come somma di due componenti ortogonali, avremo che i due (dei quattro) contributi parziali (non nulli) del prodotto vettoriale, saranno indipendenti e relativi a campo elettrico e magnetico associato.

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Note

1. Una volta precisato cosa intendi indicare con $\eta$ ? ↑

[Vincenzo10]

Renzo, ti ringrazio per l'attenzione. Sia per quella attuale che per quella spero futura.
Il simbolo $\eta$ rappresenta $c \epsilon_0 \sqrt{x_e/x_m}$.
In tale formula $x_e$ rappresenta la costante dielettrica relativa (in un mezzo omogeneo e isotropo) e $x_m$ la permeabilità magnetica relativa. Il simbolo è tratto dal libro di Massimo Nigro e Cesare Voci "Problemi di Fisica Generale" Elettromagnetismo - Ottica Ed. Cortina Padova 2002 pag. 374.

[RenzoDF]

Esattamente l'inverso di quanto si usa normalmente, ovvero con $\eta$ Nigro (il mio prof. di Fisica ) indica l'inverso dell'impedenza intrinseca, ovvero l'ammettenza intrinseca $Y=1/Z$, ad ogni modo ok, non cambia nulla.

[Vincenzo10]

Ho studiato meglio il comportamento del campo di un'onda circolare. Al variare della fase il cerchio degenera in ellissi che hanno tutte la caratteristica di avere l'asse maggiore inclinato a 45 gradi (o anche 135). In particolare può degenerare in un segmento inclinato a 45 gradi. La composizione dei due campi ortogonali al fine di ottenere il campo risultante risente della fase. Per cui si può avere che con differenza di fase di 90 gradi (tipica quella tra seno e coseno) il campo risultante coincide in modulo con uno dei due ortogonali e ruota nel tempo formando un cerchio. Per una fase diversa il campo risultante ruota facendo passare il proprio modulo da un minimo a un massimo e generando una ellisse "inclinata". Infine si può generare un segmento in cui il campo effettua una vibrazione. In tal caso il suo modulo cresce e vale $E_M=\sqrt{2}E_0$. In tutti i casi effettivamente si ottiene $I = \eta E_(0)^2$ e, in questo senso, il risultato è esatto.
In conclusione però è bene sapere che la identità del flusso energetico di figure così diverse - che vanno dal cerchio (non polarizzato), all'ellisse ( parzialmente polarizzata), al segmento (completa polarizzazione lineare) - si mantiene grazie a una variazione del modulo del campo composto la cui determinazione a partire dai due ortogonali dipende non banalmente dalla fase.

[RenzoDF]

... In conclusione però è bene sapere che la identità del flusso energetico ... si mantiene grazie a una variazione del modulo del campo composto ... (che) ... dipende non banalmente dalla fase.

Scusa ma non capisco questa conclusione, come ti dicevo, se continui ad assumere quella media integrale del post iniziale come una definizione è chiaro che troverai dei problemi nello spiegare l'indipendenza dell'intensità dalla fase fra le due componenti, se invece vai a considerare che quel campo elettrico al quadrato deriva dal modulo del vettore di Poynting, ovvero dal prodotto vettoriale fra vettore campo elettrico e vettore campo magnetico (intendo "all'antica" $\vec H$), l'indipendenza dalla fase ti risulterà chiarissima e non dovrai andare a spiegare la costanza dell'intensità attraverso una "miracolosa" dipendenza di $|\vec E|$ dalla fase.

[Vincenzo10]

Bella risposta. Ho faticato un po' a capirla ma penso che tu intenda il fatto che mentre il vettore E è controllato - anche - dalla fase (intendo $\phi$) il vettore di Pointing no perché H è sempre ortogonale a E. Va bene.
Io però sono incuriosito da queste ellissi che si generano da due vibrazioni ortogonali. Vorrei capire meglio non solo il problema "diretto" ma anche e soprattutto quello "inverso". Se uno ha una ellisse, infatti, può scegliere di scomporla secondo una coppia d'assi ortogonali arbitrariamente orientata rispetto ai suoi assi principali.... Questo accade quando si mette un polarimetro davanti a una onda piana...etc.

[Vincenzo10]

Vorrei riprendere questo argomento senza ingarbugliarlo. Perciò tralascio per il momento il problema energetico.
Si sa che due campi vibranti (i.e. onde piane polarizzate linearmente) ortogonali si compongono per dar luogo a un campo che descrive ellissi generalmente inclinate. In particolare penso di ricavare il valore del campo massimo a partire dalla conoscenza dei campi $E_(y0)$ ; $ E_(z0)$ e dalla costante di fase relativa $ \varphi $
Ho provato a scrivere l'equazione dell'ellisse nella forma: $E_(y0) cos(Kx-omega t); E_(z0) cos(Kx-omega t+\phi )$ nel piano $yz$ e ho semplificato il simbolismo introducendo la variabile $ u=Kx-omega t$ e $a = E_(y0)$ ; $ b=E_(z0)$.
Così il vettore campo elettrico risulta rappresentato dalle componenti:
$ \vec {E}(u) \equiv {a\cdot\cos(u) ; b\cdot\cos(u+\varphi)}$
Il suo modulo al quadrato è dato dalla espressione:
$ │E(u)│^2 = (a^2+b^2\cos(\varphi)^2)\cos(u)^2 +b^2\sin(u)^2\sin(\varphi)^2-1/2 b^2\sin(2u)sin(2\varphi)$
che si può considerare una funzione di u con parametro $\varphi$.
Se ne può annullare la derivata e si ottiene:
$\tan(2u)=-b^2\sin(2\varphi)/(a^2+b^2\cos(2\varphi))$
Con questa formula siamo in grado di ricavare il particolare valore di u che corrisponde al campo massimo.
In realtà ci sono due campi massimi e due campi minimi. Ma lo vedremo alla prossima puntata.
Per la quale prevedo cose strabilianti.....

[Vincenzo10]

Come dicevo, ci sono due massimi e due minimi. Ma solo un massimo e un minimo è compreso entro $\pi$. Per una più semplice gestione di ciò che sto per mostrare conviene sintetizzare la formula usando i seguenti simboli. Solo per comodità pratica. $A=a^2 ; B = b^2 ; \sin(2\varphi)=bar{2\varphi} ; \cos(2\varphi}=hat{2\varphi}; A*hat{2\varphi}=hat{A}; A*bar{2\varphi}=bar{A} ;B*hat{2\varphi}=hat{B}; B*bar{2\varphi}=bar{B} ; \cos(u) = hat{u}; \sin(u)= bar{u}; \cos(\varphi) = hat{\varphi}; \sin(\varphi)= bar{\varphi}; $
In questo modo la formula diventa
$\tan(2u)=-bar{B}/(A+hat{B})$
Da questa, applicando la formula di duplicazione della tangente otteniamo:
$\tan(u)=(A+hat{B} \pm \sqrt(A^2+2Ahat{B}+B^2))/bar{B}$
Con questa formula siamo al punto in cui, dati due vibratori di ampiezza a e b e la loro fase $\varphi$ possiamo ricavare il valore della variabile angolare u sia per il massimo che per il minimo. Utilizzando, ovviamente le due determinazioni del segno davanti alla radice.
Possiamo adesso ottenere molte cose.
La prima è la posizione angolare ( diciamo $\theta$ ) del campo massimo (o minimo) proprio nel piano cartesiano.
Infatti se $ \vec {E}(u) \equiv {a\cdot\cos(u) ; b\cdot\cos(u+\varphi)}$ si ricava:
$tan(\theta) =(b\cdot\cos(u+\varphi))/(a\cdot\cos(u)) = (b/a)*(hat{u}hat{\varphi}-bar{u}bar{\varphi})/hat{u} = b/a (hat{\varphi}-\tan(u)*bar{\varphi})$
Questa osservazione è importante perché mostra che la posizione dei campi "estremi" non è banalmente legata alla variabile angolare u.
Ma la prossima osservazione lascerà stupefatti....

[Vincenzo10]

Adesso viene il bello.... già perché nella espressione generale del modulo al quadrato del campo elettrico possiamo inserire i due valori di u ottenuti dalla formula di $ \tan(u)$ (non quella di $\tan(2u)$). Li chiamo $u_-$ se proviene dal segno meno e $u_+$ se proviene dal segno + sempre nella stessa formula della tangente. Di conseguenza i due vettori estremi sono:
$│E_(-)│^2 = (A+B*\hat(\varphi)^2)*\hat(u_(-))^2 +B*bar(u_(-))^2*\bar(\varphi)^2-1/2 B*\bar(2u_(-))*\bar(2\varphi)$
$│E_(+)│^2 = (A+B*\hat(\varphi)^2)*\hat(u_(+))^2 +B*bar(u_(+))^2*\bar(\varphi)^2-1/2 B*\bar(2u_(+))*\bar(2\varphi)$
Dovremmo usare l'arcotangente per cavar fuori $u_(-)$ e poi $ u_(+)$ per utilizzarli nelle due precedenti espressioni.
In genere la gente arriva a questo punto e si scoraggia. Ma invece si può continuare utilizzndo bene le formule di trasformazione da tangente a coseno e a seno e compattare ulteriormente il formalismo.
Attenzione per chi segue pedissequamente i passaggi che $\hat(B)^2+\bar(B)^2 = B^2$.
Allora spezzando in tre termini una qualsiasi delle espressioni sopra riportate (la prima col meno) e avendo introdotto il simbolo $\Delta = A^2+2Ahat{B}+B^2$ otteniamo:
$ \tan(u)=(A+hat{B} \pm \sqrt(A^2+2Ahat{B}+B^2))/bar{B} =(A+hat{B} \pm \sqrt(\Delta))/bar{B} $
$ (A+B*\hat(\varphi)^2)*\hat(u_(-))^2 = (\bar(B)^2*(A+B*\hat(\varphi)^2))/(2*\Delta-2*(A+\hat(B))*\sqrt(\Delta))$
$ B*\bar(u_(-))^2*\bar(\varphi)^2 = B*\bar(\varphi)^2*(1-\bar(B)^2/(2*(\Delta - (A + \hat(B))*\sqrt(\Delta)) )) $
$ -1/2 B*\bar(2u_(-))*\bar(2\varphi) = (-)1/2*\bar(B)^2/(-\sqrt(\Delta))$
Sommati i tre termini e fatto qualche passaggio, abbiamo:
$│E_(-)│^2= B*\bar(\varphi)^2+\bar(B)^2/2 * ((A+\hat(B))/(\Delta-(A+\hat(B))sqrt(\Delta)))+1/2*\bar(B)^2/\sqrt(\Delta)$
$│E_(+)│^2= B*\bar(\varphi)^2+\bar(B)^2/2 * ((A+\hat(B))/(\Delta+(A+\hat(B))sqrt(\Delta)))-1/2*\bar(B)^2/\sqrt(\Delta)$
Sommando membro a membro abbiamo:
$│E_(-)│^2+│E_(+)│^2 =2*B*\bar(varphi)^2 +(\bar(B)^2/2)*((A+\hat(B))/(\Delta -(A+\hat(B))*\sqrt(\Delta))-(A+\hat(B))/(\Delta +(A+\hat(B))*\sqrt(\Delta)))=$
indovinate un po'....$= B+A=b^2+a^2$

Questo risultato è notevole (almeno per me) perché consente di stabilire che tutti i possibili campi ellittici generati da due oscillatori perpendicolari sono caratterizzati dal fatto che la somma dei quadrati del campo minimo e del campo massimo è costante e non dipende dalla differenza di fase. Purché ovviamente anche la fase sia costante durante l'evoluzione temporale.
Bel risultato?
Direi di si. Ma ce ne saranno altri e li vedrete quando comincerò a pensare ed esporre il problema inverso. Che poi è quello che ci interessa maggiormente. Perché quando un'onda ellittica viene ad attraversare un polarimetro noi conosciamo i due campi massimo e minimo più l'angolo di "inclinazione" ma non conosciamo l'intensità dei campi ortogonali né la loro fase reciproca in cui alla fine l'ellisse si va a decomporre.