Massimizzare la somma delle distanze..

[.Ruben.]

Preso un punto in un quadrato di lato unitario(sia all'interno che sulla frontiera) si consideri la somma delle distanze di tale punto dai 4 vertici del quadrato.
Stabilire per quale(i) punto(i) la somma è massima e dimostrare i risultati ottenuti

[Vincent46]

Ma va risolto a mano o si può usare il calcolatore? Perché con maple ho trovato questo:

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Detta $D(x,y)$ la funzione che mi assegna la distanza dei vertici dal punto $(x,y)$, osservo preliminarmente che $D$ ha massimo, perché è continua su un compatto. Si trova che l'unico punto critico di $D$ è $(\frac{1}{2}, \frac{1}{2})$, che chiaramente corrisponde a un minimo. Questo vuol dire che il massimo va cercato sulla frontiera del quadrato. Ora, se mi pongo su un lato del quadrato, è chiaro che la somma delle distanze dai vertici del lato suddetto rimane costantemente uguale a $1$, mentre la somma delle distanze dagli altri due vertici ha un minimo al centro del lato, ma non ha massimo. Questo mi esclude anche l'interno dei lati. Rimangono i quattro vertici del quadrato che, effettivamente, sono i punti cercati.

[.Ruben.]

E' tratto da un test di ammissione(Scuola Superiore di Udine), quindi andrebbe fatto a mano

[consec]

Qui se n'era parlato

[Vincent46]

E' tratto da un test di ammissione(Scuola Superiore di Udine), quindi andrebbe fatto a mano

tentativo 2:

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di nuovo, preliminarmente, si nota che tali punti di massimo debbono necessariamente esistere.

considero un quadrato con vertici in $I_1 = (0,0), I_2 = (1,0), S_1 = (0, 1), S_2 = (1, 1)$. supponiamo per assurdo che il massimo venga assunto da un punto $P$ interno al quadrato. consideriamo l'ellisse con fuochi in $I_1, I_2$ e passante per $P$, che notoriamente è il luogo dei punti che hanno la medesima somma delle distanze da $I_1, I_2$. Consideriamo ora la tangente $t$ all'ellisse passante per $P$. Costruiamo anche l'ellisse con fuochi in $S_1, S_2$ e passante per $P$, e consideriamone la tangente $r$ in $P$. Tali tangenti $t, r$ individuano un triangolo (degenere, al limite) di punti esterni a entrambe le ellissi, che avranno somma delle distanze dai vertici maggiori di quella di $P$. Assurdo.

se ora supponiamo per assurdo che il massimo venga assunto da un punto $P$ interno a uno dei lati del quadrato, considero l'ellisse con fuochi nei vertici $V_1, V_2$ che non appartengono al lato suddetto e passante per $P$. Necessariamente ci saranno altri punti appartenenti al lato suddetto che giaceranno all'esterno dell'ellisse, quindi avranno somma delle distanze da $V_1, V_2$ strettamente maggiore. D'altra parte, muovendomi lungo il lato mantengo invariata la somma delle distanze dai vertici del lato. quindi anche in questo caso giungo a un assurdo.

restano solo i vertici del quadrato, che, per esclusione, sono i punti cercati.

[gugo82]

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Introduciamo un sistema d'assi cartesiani ortogonali con origine nel centro e assi orientati lungo le direzioni dei due lati.
In tal modo il quadrato $Q$ coincide con \([-1/2,1/2]^2\) e la somma delle distanze di un generico punto $(x,y)$ dai vertici $(+-1/2, +-1/2)$ del quadrato è:
\[
f(x,y) := \sqrt{(x-1/2)^2+(y-1/2)^2} + \sqrt{(x-1/2)^2+(y+1/2)^2} + \sqrt{(x+1/2)^2+(y-1/2)^2} + \sqrt{(x+1/2)^2+(y+1/2)^2}\; .
\]
La $f$ è somma di quattro funzioni continue e convesse, dunque è continua e convessa.
Dato che $Q$ è compatto, $f$ ha massimo assoluto in $Q$.
Per convessità, il massimo è sul bordo (se così non fosse, la $f$ sarebbe costante in $Q$).
Per simmetria, basta studiare la situazione sul pezzo di bordo verticale nel primo quadrante, i.e. sui punti $(1/2,y)$; in tal modo, bisogna massimizzare:
\[
f(1/2,y) = \sqrt{1+(y-1/2)^2} + \sqrt{1+(y+1/2)^2}
\]
in $I=[0,1/2]$.
Dato che $f$ che è continua, convessa e non costante in $I$ compatto, il massimo è sul bordo.
Dato che $f(1/2,0)=\sqrt{5}$ ed $f(1/2,1/2)=1+\sqrt{2}$ e che $1+\sqrt{2}>\sqrt{5}$, il massimo è in $y=1/2$.
Ciò implica che il massimo di $f$ è nei vertici di $Q$.