estremo superiore, inferiore

[zio_mangrovia]

Non capisco il passaggio 3 di questa dimostrazione:

il testo dice se vale la proposizione:
1) $A$ limitato $iff EE l,L in RR: l<=a<=L, AA a in A$
2) allora vale anche $|a|<M, AA a in A$ (o equivalentemente $-M <= a <= M, AA a in A$) con $M=max{|l|,|L|}$ perché:

3) $-M<=-|l|<=l<=a<=L<=|L|<=M, AA a in A$

Non capisco bene queste due relazioni da dove si deducono, in particolare da dove nasce la disuguaglianza contenente il valore assoluto ($|l|,|L|$):
$L<=|L|<=M$
$-M<=-|l|<=l$

[NoSignal]

Devi considerare la proprietà del valore assoluto: $AAx inRR, -|x|<=x<=|x|$, la dimostrazione è più una verifica e ti invito a svolgerla da te.
Essendo $M=max{|l|,|L|}$ avrai quindi, per la proprietà suddetta che $L<=|L|<=M$ e allo stesso modo considerando sempre tale proprietà hai che $-l<=|l|$ ma allora vale $-l<=|l|<=M$ e scambiando i membri ottieni $-M<=-|l|<=l$;
a questo punto basta mettere assieme le cose.

Nel titolo hai scritto "estremo superiore e inferiore" ma forse ti stai confondendo con la nozione di maggiorante e minorante.

[zio_mangrovia]

Direi chiarissimo, non avevo pensato alla proprietà del valore assoluto che avevi indicato... che imagino derivi dalla disuguaglianza triangolare impostando $a=b$:

$|a+b|<=|a|+|b|$

se $a=b, |2a|<=2|a| rarr |a|<=|a|$ da cui $-|a|<=a<=|a|$

Di nuovo grazie