L’errore nel procedimento adottato è nell’analisi del problema: una soluzione rigorosa impone la risposta “qualsiasi” ad entrambe le domande perché i dati forniti sono insufficienti ad un calcolo quantitativo.
Ci sono tre variabili di stato e un solo valore fornito, quindi il problema ammette infinite soluzioni. Questo, volendo essere rigorosi, come si dovrebbe sempre esserlo nell’affrontare i problemi di fisica.
Allargando un po’ la visuale, si può giungere alla conclusione che si tratta di un problema “mal posto” (piaga che affligge non pochi esercizi simili a quello di cui stiamo discutendo).
Leggendo nella mente dell’ideatore, vediamo come avrebbe dovuto essere posto l’esercizio per essere formalmente corretto.
Si consideri il circuito di figura 1 nel quale sono conosciuti:
- $C_1$ = $C_4$ = 8 µF
- $C_2$ = $C_3$ = 4 µF
- $V_0$ = 300 V
Inizialmente i due interruttori $I_0$, $I_1$ siano aperti e i quattro condensatori $C_1$ – $C_4$ siano scarichi.
Si chiuda ora $I_0$ e si determinino:
1) la differenza di potenziale $V_{AB}$;
2) l’energia elettrostatica del sistema.
Si proceda con la chiusura di $I_1$ e si determini, rispetto alla condizione precedente,
3) la variazione di energia elettrostatica del sistema.
Se il problema fosse stato posto in questo modo, allora si sarebbe potuto risolvere.
Io avrei fatto così:
Alla chiusura di $I_0$, il generatore vede una capacità
$C_{eq}= \frac{1}{\frac{1}{C_1}+\frac{1}{C_2}}+\frac{1}{\frac{1}{C_3}+\frac{1}{C_4}}=\frac{16}{3} \mu F$
La determinazione dell’energia elettrostatica è ora immediata
$U=\frac{1}{2}\cdot C_{eq}\cdot V_0^{2}=240 mJ$
E questa è la risposta alla domanda 2).
La carica totale sulle armature in collegamento con il generatore sarà allora
$q_{ex}=C_{eq}\cdot V_0=1.6 mC$
equamente distribuita sui due rami composti dalle coppie $C_1$, $C_2$ e $C_3$, $C_4$ a ragione del fatto che le capacità dei due rami sono uguali.
La carica netta ai nodi A e B resta nulla in quanto nessuna carica può raggiungere quei nodi.
Si possono ora determinare le differenze di potenziale $V_{AC}$ e $V_{BC}$ come le tensioni ai capi di $C_3$ e rispettivamente $C_4$, conoscendo la carica sulle loro armature. Da queste di determina immediatamente la loro differenza
$V_{AB}=V_{AC}-V_{BC}=\frac{\frac{q_{ex}}{2}}{C_2}-\frac{\frac{q_{ex}}{2}}{C_4}=100 V$
E questa è la risposta alla domanda 1).
Quando $I_1$ è chiuso, la capacità equivalente cambia, divenendo
$C_{eq}'= \frac{1}{\frac{1}{C_1+C_3}+\frac{1}{C_2+C4}} =6 \mu F$
Il nuovo valore dell’energia elettrostatica è ora
$U'=\frac{1}{2}\cdot C_{eq}' \cdot V_0^{2}=270 mJ$
Da cui si ottiene la differenza
$\Delta U=U'-U=\frac{1}{2}\cdot V_0^{2} ( C_{eq}'-C_{eq} )=30 mJ$
E questa è la risposta alla domanda 3.
Note:
Nulla cambia riguardo gli schemi nel primo post che sono totalmente errati in ogni caso.
Non sono riuscito ad utilizzare alcuni funzionalità di LaTex, tra cui il comando per rendere "retti" i caratteri relativi alle unità di misura. Mi perdonino i puristi della forma.
da luaneddra1989 » 28/07/2016, 16:25 
