Numero soluzioni di equazione ad esponente non intero

Messaggioda Fabio_S » 29/07/2016, 15:12

Ciao a tutti, questo è il mio primo post qui, e son sicuro che saprete essermi d'aiuto, o farmi pat pat sulla spalla dicendo che non c'è speranza.

Allora mi trovo ad affrontare un problema di questo genere:

X^a +b X^c +d = 0

Risolvi per X.
Purtroppo né a, nè b, né c, nè d son numeri interi.

Per cui -ovviamente- so che non esiste un metodo risolutivo per tale equazione.

1) Ma cosa posso dire?
2) Posso dire quante radici ha?
3) Posso dire quante radici reali ha? (cosa che mi interessa di più)

Poi un lusus, giusto per curiosità ma forse non necessario per il problema che devo risolvere:
4) Il numero di radici reali è "stabile"? ovvero
sia $f(a,b,c,d)$ il numero di soluzioni di tale equazioni... Cosa si può dire di tale curva?
ha un comportamento "frattaloso"?
è crescente in a?
Dipende da b,c,d?
...


Grazie mille,

Fabio
Fabio_S
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Re: Numero soluzioni di equazione ad esponente non intero

Messaggioda .Ruben. » 30/07/2016, 07:36

Per "non intero" intendi razionale o irrazionale?

Sviluppo adesso il caso con gli esponenti irrazionali

Creo una funzione $f(x)=x^a + b*x^c+d$

Assumo $a > b$
La funzione è definita solo se la x è non-negativa

La derivata è $f'(x)=a*x^{a-1}+bc*x^{c-1} \geq 0$
$x^{c-1}(ax^{a-c}+bc) \geq 0$
$x^{a-c} \geq -(bc)/a $

Studiando l'ultima disequazione al variare dei parametri si hanno queste situazioni:

0 punti estremanti(funzione sempre crescente) per $abc > 0 $
1 soluzione per $d < 0$
0 soluzioni per $d > 0$

1 punto di minimo per $abc < 0$
0 soluzioni se $f[(-(bc)/a)^{1/(a-c)}]> 0 $
1 soluzione se $d < 0$ e $f[(-(bc)/a)^{1/(a-c)}]< 0$
2 soluzioni se $d>0$ e $f[(-(bc)/a)^{1/(a-c)}]< 0$
.Ruben.
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