Limitatezza delle soluzioni di un'equazione differenziale (SISSA 2009)

[Vincent46]

Sia $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ una funzione di classe $C^1$ a valori reali tale che

\[
|f(x)| \leq \frac{1}{2}|x|+3 \, , \ \ \ \text{ per ogni } x \in \mathbb{R} \, .
\]
Si mostri che tutte le soluzioni dell'equazione differenziale ordinaria

\[
x'(t)+x(t)+f(x(t))=0, t \in \mathbb{R}
\]

sono limitate su $[0, +\infty]$.

[coffee]

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Pongo $g(x):=x+f(x)$ per ogni $x\in\mathbb R$. Osservo che $g$ è localmente lipschitziana su $\mathbb R$. Allora l'equazione differenziale che ci interessa è $x'=-g(x)$ e le sue soluzioni sono in $C^1(\mathbb R)$.

Se $x$ è un numero reale con $|x|>6$, allora $|g(x)-x|=|f(x)|<|x|$ e quindi $g(x)$ ha lo stesso segno di $x$. Perciò, se $x\in C^1(\mathbb R)$ è soluzione dell'equazione, valgono le seguenti affermazioni:

• se $t\in\mathbb R$ è tale che $x(t)>6$ (rispettivamente, $x(t)<-6$), allora $x$ è strettamente decrescente (risp., crescente) in un intorno di $t$
• se $t_0\in\mathbb R$ è tale che $|x(t_0)|\leq 6$, allora $|x(t)|\leq 6$ per ogni $t>t_0$ (se esistesse $t_1>t_0$ tale che $x(t_1)>6$ allora $x$ avrebbe un massimo locale in un punto $t\in(t_0,t_1)$ tale che $x(t)>x(t_1)>6$, assurdo per l'affermazione precedente; ragionamento analogo si fa per l'ipotesi di assurdo $x(t_1)<-6$).

Perciò, per ogni $x\in C^1(\mathbb R)$ soluzione dell'equazione, si cade in uno dei casi seguenti:

• $|x(0)|\leq 6$: allora $|x(t)|\leq 6$ per ogni $t\geq 0$ e la tesi è soddisfatta
• $x(0)>6$: allora o vale $6<x(t)<x(0)$ per ogni $t>0$, e la tesi è soddisfatta, oppure esiste $t_0>0$ tale che $6=x(t_0)<x(t)<x(0)$ per ogni $t\in(0,t_0)$ e che $|x(t)|\leq 6$ per ogni $t\geq t_0$, e la tesi è di nuovo soddisfatta
• $x(0)<-6$: si ragiona come per $x(0)>6$.

[Vincent46]

Ok! Anch'io l'ho fatto in modo simile. Molto preciso.