Immagine applicazione lineare

[Planets]

Ciao a tutti,
Sto avendo problemi con l' impostazione di una parte di un esercizio e sarei molto grata di una mano

Si consideri l'applicazione lineare f: R4 -> R3 definita da
f(e1)=f1-f2+2f3
f(e2)=f1+f3
f(e3)=f1-2f2
f(e4)=f2-f3
Con (e1,e2,e3,e4) base canonica di R4 e (f1,f2,f3) base canonica di R3.

a. Trovare dimensione e base di kerf e imf
b. Determinare base di f(H) con H=L((1,1,0,0),(-1,3,0,-2),(1,5,0,-2))

Per il punto a non ho avuto problemi,
Per quanto riguarda il punto b come devo procedere?
Grazie

[feddy]

visto che conosciamo le immagini della base canonica, possiamo definire la matrice associata a $f$, e da lì risalire alla definizione di $f$.

$ A=[ ( 1 , 1 , 1 , 0 ),( -1,0 , -2 , 1 ),(2 , 1 ,0 , -1 ) ] $

$ [ ( 1 , 1 , 1 , 0 ),( -1,0 , -2 , 1 ),(2 , 1 ,0 , -1 ) ] [(x),(y),(z),(t)]= [ ( x+y+z ),( -x-2z+t ),( 2x+y-t ) ] $

Abbiamo così la definizione di $ f:mathbb(R^4) rarr mathbb(R^3) $ tale che $ f[x,y,z,t] = [ ( x+y+z ),( -x-2z+t ),( 2x+y-t ) ] $ .


a)

$ker(f)= <((-1),(1),(0),(-1))> $
e per nullità più rango si ha che l'immagine ha dimensione $3$.

b)
Applichiamo la definizione di $f$ ai vettori che generano $H$.

$ f(h_1) = ((2),(-1),(3)) $ $ f(h_2) = ((2),(-1),(3)) $ $ f(h_3) = ((4),(-3),(9)) $

Disponendoli per colonne notiamo che la matrice ha rango pari a $2$ e due vettori linearmente indipendenti (che quindi formano una base) sono $ < ((2),(-1),(3)) ,((4),(-3),(9))> $ .

[Planets]

Ok grazie mille, non capisco solo perche nel risultato compare solo $ ( ( 2 ),( -1 ),( 3 ) ) $

[feddy]

Perché devo scegliere un insieme lin. indipendente per avede una base

[Planets]

Quindi avrei potuto prendere anche (4,-3,9)?

[feddy]

Non è che "avresti", "devi " prendere anche quello. Rileggi l'ultima riga della soluzione che ti ho proposto.

[Planets]

Intendevo.. Sul mio foglio vi è riportato il risultato f(H)=L((2,-1,3)) e non L((2,-1,3), (4, -3, 9))

[Planets]

Ho trovato l'errore in f(h3) si ha (6,-3,9) e non (4,-3,9) e quindi questo è linearmente dipendente con (2,-1,3) di conseguenza f(h)=L ((2,-1,3))
Grazie ancora!

[feddy]

Ops. ..! Perfetto

[Planets]

La seconda parte dell'esercizio invece mi chiede di trovare una base C di f^(-1)(K) con K dato da (y1,y2,y3) tali che y1+y2=2y2+y3=0.

Ho pensato di trovare il sistema di generatori di K che risulta L ((-1,1,-2)) e di porre le equazioni ricavate prima da AX pari a questi valori ma la cosa non mi torna, come devo ragionare?