Esistenza e unicità applicazione lineare

Messaggioda Henry! » 24/08/2016, 16:10

Salve :D

Ho un dubbio veloce: data l'applicazione $h:R^3rarrR^3$ tale che

$h(1,0,1) = (2,0,2)$

$h(1,0,-1) = (1,1,1) $

$h(0,0,1) = (1/2, -1/2, 1/2)$

Devo capire se esiste ed è unica.

Ora, chiaro che il vettore (0,0,1) è linearmente dipendente dagli altri due, come anche la sua immagine nello stesso identico modo; basta quindi questo a definire l'applicazione sopra descritta come "esistente ed unica"?

Perchè io sapevo che, affinchè una applicazione esistesse, dovevo avere che i vettori del dominio formassero una base (quindi tutti indipendenti, al contrario di questo esempio).

Mi sono un po' intricato perchè nel quaderno ho scritto prima che è unica e poi che non lo è :oops:

Grazie! :smt023
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Re: Esistenza e unicità applicazione lineare

Messaggioda feddy » 24/08/2016, 16:38

ciao,

per assicurarsi che esista, i vettori su cui agisce l'applicazione devono formare una base dello spazio di partenza, devono quindi essere linearmente indipendenti.

Inoltre, assegnate le immagini sui vettori di una base di uno spazio V, l'applicazione lineare da esse determinata è unica.
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Re: Esistenza e unicità applicazione lineare

Messaggioda Henry! » 24/08/2016, 21:09

Ecco quindi automaticamente, non essendo ${(1,0,1), (1,0,-1), (0,0,1)}$ una base, posso dire che tale applicazione non esiste?
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Re: Esistenza e unicità applicazione lineare

Messaggioda feddy » 24/08/2016, 21:26

Esatto
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Re: Esistenza e unicità applicazione lineare

Messaggioda Shocker » 24/08/2016, 21:49

Ciao,

scusate se mi intrometto ma non mi trovo d'accordo con feddy: le condizioni date per $h$ non sono in contraddizione, infatti:

$h(1, 0, -1) = (1, 1, 1) = h( (1, 0, 1) -2(0, 0, 1)) = h(1, 0, 1) - 2h(0, 0,1)= (2, 0, 2) - 2( 1/2, -1/2, 1/2) = (1, 1, 1)$

Quindi $h$ esiste ma non è unica: infatti scelti due vettori fra ${(1, 0, -1), (1, 0, 1), (0, 0, 1)}$ posso completare a una base di $\mathbb{R^3}$ e definire una certa $h$. Cioè sostanzialemnte è come se avessero imposto solo due condizioni su $h$.

Se le condizioni fossero stati incoerenti1 allora si sarebbe potuto dedurre la non esistenza.

Note

  1. per esempio se fosse stato $h(1, 0, -1) != h( (1, 0, 1) -2(0, 0, 1))$ che implica la non linearità di $h$
#NikkioAlleIMO - https://www.youtube.com/watch?v=vEl5bFIALb8

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Re: Esistenza e unicità applicazione lineare

Messaggioda feddy » 24/08/2016, 22:15

Certo, ringrazio shoker per la correzione! Chiaramente stavo pensando alla non unicità :) grazie
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Re: Esistenza e unicità applicazione lineare

Messaggioda Henry! » 25/08/2016, 08:29

Shocker ha scritto:Ciao,

scusate se mi intrometto [...]


Intromettiti pure quanto vuoi! Gentilissimo, grazie a entrambi ragazzi! :smt023
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