Pendolo semplice

[Mimmo93]

Un oggetto puntiforme di massa m = 50 g è collegato ad un punto fisso O tramite una fune non estensibile di massa trascurabile e lunghezza r = 25 cm. L’oggetto viene messo in rotazione su una traiettoria circolare posta sul piano verticale. Determinare:
i) la differenza $v_B^2 – v_A^2$ dei quadrati dei moduli delle velocità dell’oggetto nel punto più basso, B, e nel punto più alto, A, della traiettoria;
ii) la differenza $T_B – T_A$ delle tensioni della fune nel punto B e nel punto A.

Questo è il problema, non riesco a trovare un modo per trovare l'angolo del pendolo, riesco a risolvere il problema solo esprimendo tutto in funzione dell'angolo.

[anonymous_0b37e9]

Dovresti imporre la conservazione dell'energia meccanica tra il punto $B$ e il punto $A$. Quindi, imporre il secondo principio della dinamica nel punto $B$ e nel punto $A$.

[Mimmo93]

Fatto ma mi rimane l'angolo come incognita

[anonymous_0b37e9]

Non capisco di quale angolo tu stia parlando. Per esempio:

$1/2mv_B^2=1/2mv_A^2+2mgr$

Insomma, nell'equazione di cui sopra non compaiono angoli.

[Mimmo93]

Ma nel punto più alto della traiettoria la velocità tangenziale non dovrebbe essere nulla? Per il fatto dell' angolo tu hai scritto 2r come altezza dell'energia potenziale ma è un h che dobbiamo ricavarci dal disegno e che a me dà $(r-rcos\theta)$

[anonymous_0b37e9]

Tipicamente, esistono due versioni semplificate di questo esercizio. La prima chiede la minima velocità con la quale il punto materiale deve partire dal punto più basso per raggiungere il punto più alto (la fune deve rimanere tesa, non si può imporre $v_A=0$, la fune si affloscerebbe prima, piuttosto $T_A=0$):

$\{(1/2mv_B^2=1/2mv_A^2+2mgr),(mv_A^2/r=mg+T_A),(T_A=0):}$

La seconda è quella in esame, nella quale la velocità nel punto più basso è maggiore o uguale del valore ricavato nella prima versione, $v_B>=sqrt(5gr)$, in modo tale che il punto materiale possa completare il giro:

$\{(1/2mv_B^2=1/2mv_A^2+2mgr),(mv_B^2/r=-mg+T_B),(mv_A^2/r=mg+T_A):}$

Risolvere il problema generale, determinando tutte le grandezze fisiche in funzione dell'angolo, è un altro problema, senz'altro più complesso ma non richiesto dalla consegna.