$x^2-4y^2+2x-3y-2=0$
se io non volessi usare il completamento del quadrato, vorrei poter procedere in questa maniera. Intanto per prima cosa determino il vertice
$V(-1,-3/8)=> (x+1)^2/a^2+(y+3/8)^2/b^2=1$
Ora ovviamente mi serve ricavare i parametri $a,b$. Nel caso di un'ellisse non ci sono problemi, poiché è una curva chiusa e si interseca sempre con i suoi assi di simmetria. Dunque salto direttamente a quello che mi interessa.
Sappiamo che l'iperbole ha due vertici reali e due vertici cosiddetti non reali. Ora quando l'iperbole è centrata in $O$ è abbastanza chiara la posizione dei vertici non reali, mentre quando la trasliamo ottengo qualcosa del genere:
Considero il sistema
${(x^2-4y^2+2x-3y-2=0),(x=-1):}$
$4y^2+3y+3=0=>Delta=-39$
ottengo le soluzioni $y_(1,2)=(-3pmisqrt(39))/8=-3/8pmisqrt(39)/8$
$4y^2+3y+3=0=>Delta=-39$
ottengo le soluzioni $y_(1,2)=(-3pmisqrt(39))/8=-3/8pmisqrt(39)/8$
ora $|Im(y_(1,2))|=sqrt(39)/8$ che è esattamente $b$ e inoltre se considerassi $y_(1,2)=(-3pmsqrt(39))/8$ senza l'unità immaginaria, otterrei esattamente le ordinate dei vertici non reali. Come lo considero geometricamente?
Io ho pensato di vederla così: $y$ è un'ordinata, dunque $-3/8$ è certamente un'ordinata, mentre $pmisqrt(39)/8$ giace sulla stessa retta del riferimento cartesiano con entrambi gli assi reali. Dunque posso considerare come se fosse uno spostamento sullo stesso asse. E' corretto?
