Chiarimenti sul Teorema spettrale: come trovare una base spettrale?

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Salve


Ho da poco studiato il teorema spettrale, datomi con il seguente enunciato:

$(V, \phi)$ spazio euclideo. $f \in End(V)$ ortogonalmente diagonalizzabile $\iff f = f^\star$(cioè f è autoaggiunto, oppure simmetrico, come preferite).

Per ortogonalmente diagonalizzabile s'intende che esiste una base spettrale per $f$, cioè una base $\phi-$ortonormale e di autovettori per $f$.

Primo dubbio: come trovo una base spettrale? Supponiamo di avere un endomorfismo $f$ e un prodotto scalare $\phi$ che rende $V$ uno spazio euclideo.

1) Trovo una base $B$ di $V$ ortonormale per $\phi$(esiste sempre perché siamo in uno spazio euclideo).
2)Verifico che $f$ è autoaggiunto calcolando $A = M_B(f)$
3)Trovo una base $B'$ di autovettori per $A$(siamo nelle ipotesi del teorema spettrale per cui $A$ è diagonalizzabile)
4)La ortogonalizzo e la normalizzo per $\phi$(si può fare perché siamo in uno spazio euclideo)
5)$B''$ è una base spettrale per $f$ e la matrice di cambiamento di base ortogonale è $P = M_(B', B)(id)$

Passiamo ora alla versione matriciale del teorema: ogni matrice simmetrica a coefficienti reali è diagonalizzabile. Come trovo una base spettrale in questo caso?


Stesso procedimento:
1) Interpreto $A \in S(n, \mathbb{R})$ come applicazione lineare $L_A:\mathbb{R^n} \to \mathbb{R^n}$ t.c $L_A(X) = AX$ dove $(\mathbb{R^n}, <,>)$ è spazio euclideo e $< \dot, \dot>$ è il prodotto scalare standard.
2)Trovo una base ortonormale $B$ per il prodotto scalare standard, per esempio la base canonica ${e_1, ..., e_n}$
3)Trovo $M_B(L_A)$, che nel caso della canonica coincide con $A$
4)Trovo una base di autovettori $B'$ per $M_B(A)$
5)La faccio diventare ortonormale per il prodotto scalare standard
6)$B'$ è ortonormale per il prodotto scalare, $M_B'(A)$ è diagonale e $P = M_(B', B)(id)$ è la matrice ortogonale che mi permette di diagonalizzare $A$.


Sono corretti come procedimenti?
Ci sono altri modi per trovare una base spettrale?

Grazie

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Non ho capito alcune cose quando parli del caso matriciale: perché cerchi una base ortonormale per il prodotto scalare standard? Non è detto che $\phi$ sia il prodotto scalare standard, è congruente ad esso perché essendo $(V,\phi)$ euclideo $\phi$ è definito positivo (per lo meno la definizione che io conosco per spazio euclideo è: "spazio vettoriale reale su cui è definito un prodotto scalare definito positivo").

Per un problema del genere, sfruttando l'ipotesi che $f$ è autoaggiunta io me la giocherei così:

Lemma
Sia $f \in End(V)$ autoaggiunto e sia $V_{\lambda}$ autospazio relativo all'autovalore $\lambda$ e sia $V_{\mu}$ autospazio relativo all'autovalore $\mu$, $\lambda \ne \mu$, allora i due autospazi sono in somma diretta ortogonale.
Prova
Sappiamo già che sono in somma diretta, proviamo che sono ortogonali. Sia $v$ in $V_{\lambda}$ sia $w$ in $V_{\mu}$ allora
\[ \lambda \phi(v,w)=\phi(f(v),w)=\phi(v,f(w)=\mu\phi(v,w)
\]
Pertanto $ (\lambda - \mu) *\phi(v,w)=0$, ma $\lambda \ne \mu$ dunque la tesi.

Pertanto dato il lemma e la proprietà di essere autoaggiunta di $f$ procederei così:
1) Calcolo per ogni autovalore $\lambda$ una base per l'autospazio, diciamo $B_{\lambda}$
2)Ortogonalizzo con Grahm-Schmidt (posso farlo perché in uno spazio euclideo non ci sono vettori isotropi) la base di $V_{\lambda}$
3) Concludo prendendo come base l'unione delle basi ortonormalizzate degli autospazi.