Domanda di logica matematica

[Luisa18111996]

Grazie per il benvenuto, io vi ringrazio per la disponibilità nel rispondermi.
Non volevo urlare scrivendo il titolo in maiuscolo, volevo solo evidenziarlo essendo questo il titolo. Errore mio, non lo ripeto più.

[consec]

Si poteva risolvere pure senza derivate (che sono poco eleganti)
Applicando due volte AM-GM
$sqrt(1+x^2)+sqrt(1+1/x^2)>=2sqrt(sqrt((1+x^2)(1+1/x^2)))=2sqrt(sqrt(2+x^2+1/x^2))>=2sqrt(sqrt(4))=2sqrt(2)$ dove l'uguaglianza sussiste solo quando $x^2=1/x^2$
Comunque concordo, non è immediato il perché cerchiamo il minimo della somma delle ipotenuse

non ho ben capito questo metodo, me lo spiegheresti cortesemente?

La disuguaglianza aritmetico geometrica afferma che date $n$ quantità positive $a_1, a_2, ... a_n$, allora vale la seguente relazione:
$(a_1+a_2+...+a_n)/n>=root(n)(a_1a_2...a_n)$
Ossia, la somma dei valori fratto il numero di essi è sempre maggiore o uguale al prodotto di tutti i valori sotto radice ennesima. Il segno di uguaglianza (e quindi il minimo della somma e massimo del prodotto) si conserva quando gli $n$ elementi sono uguali.
Applicandolo alla funzioni (strettamente positive) $sqrt(1+x^2)+sqrt(1+1/x^2)$ allora otteniamo
$(sqrt(1+x^2)+sqrt(1+1/x^2))/2>=sqrt(sqrt((1+x^2)(1+1/x^2)))$.
Espandendo le parentesi ci riconduciamo a
$sqrt(1+x^2)+sqrt(1+1/x^2)>=2root(4)(2+x^2+1/x^2)$
Minizzare la funzione sul lato destro vuol dire minimizzare la somma $x^2+1/x^2$, per cui procediamo allo stesso modo
$(x^2+1/x^2)/2>=sqrt(1)$ ossia $x^2+1/x^2>=2$
Procedendo a ritroso troviamo
$sqrt(1+x^2)+sqrt(1+1/x^2)>=2root(4)(2+x^2+1/x^2)>=2root(4)(4)=2sqrt(2)$
Dove l'uguaglianza si mantiene (e quindi la somma delle ipotenuse assume il valore minimo) quando $sqrt(1+x^2)=sqrt(1+1/x^2)$ e $x^2=1/x^2$, entrambe soddisfatte per $x=1$

[Luisa18111996]

Grazie infinite per il chiarimento!