Salve a tutti, sto seguendo il corso di Algebra I e il programma si è concluso trattando dei gruppi in maniera generale, gruppi ciclici (in generale), gruppi di permutazione su n elementi (Sn) e gruppi diedrali, classi laterali e sottogruppi normali, gruppi quoziente e per finire il teorema fondamentale di omomorfismo e teorema di Lagrange. In realtà ho delle lacune soprattutto per quanto riguarda i gruppi di permutazione e gruppi diedrali. Per quanto riguarda la ''teoria'' (se proprio vogliamo fare una distinzione tra teoria e pratica) mi sento in realtà a posto, non ho lacune e/o dubbi evidenti (almeno credo ), spesso però mi si presentano esercizi in cui non so bene da dove devo partire e il modo in cui riflettere.
Ad esempio: \(\displaystyle \text {Trovare quattro sottogruppi diversi di} \mathcal{S}_4 \text {isomorfi a} \mathcal{S}_3 \text {e nove isomorfi a} \mathcal{S}_2 \)
Sinceramente per un esercizio del genere non saprei bene da dove partire, intendo, il gruppo simmetrico su 4 elementi ha $ 4! = 24 $ elementi, trovare tutti i sottogruppi ''a mano'' e verificare uno ad uno gli isomorfismi mi sembra un lavoro troppo meccanico e anche poco elegante alla fine. Per questo tipo di esercizi (per tipo di esercizi intendo esercizi in cui il problema è ''trova i sottogruppi ... '' '' verifica che i sottogruppi ... siano isomorfi a ... '' ) che tipo di ragionamento sarebbe più adatto utilizzare? (scusate la povertà di informazioni, ma sinceramente mi trovo brancolante nel buio e non so proprio come partire. Vi ringazio in anticipo )