Equazione logaritmica

Messaggioda scudfr » 25/08/2016, 20:51

Ciao ragazzi, sto tentando di svolgere questa equazione:
$sqrtlog_2x^4 + 4log_2sqrt(2/x)=2$
I logaritmi sono in base 2, e dovrebbe risultare x=1 e x=2. Io ho provato a liberarmi della radice quadrata che contiene il logaritmo così :
$(sqrtlog_2x^4)^2=(2- 4log_2sqrt (2/x))^2$
Poi però non riesco a procedere, io vorrei riscrivere l'equazione isolando $logx$ così da poterlo porre uguale ad una variabile e risolvere ma non riesco ad ottenere l'argomento uguale.

Mi date un suggerimento così provo?
Grazie!!
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Re: Equazione logaritmica

Messaggioda anto_zoolander » 26/08/2016, 00:05

La rimaneggio, vediamo se riesci a capire cosa ho fatto e il senso

$sqrt(4log(x))+4*1/2[log_2(2)-log_2(x)]=2,xgeq1$
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Re: Equazione logaritmica

Messaggioda scudfr » 26/08/2016, 12:16

Ho capito! Grazie! Spero di riuscire ad usarlo se mi ricapita..

Sfrutto questo post per provare a risolverne un'altra:

$log_3 (x+1)+log_(x+1)3=10/3$

Io ho provato così :

$log_3(x+1)+(log_(3)3/log_(3)(x+1))=10/3$
$log_3[(x+1)(3/(x+1))]=10/3$

Solo che mi si semplifica la x..
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Re: Equazione logaritmica

Messaggioda davide.grb » 26/08/2016, 13:24

Risolviamo l'equazione: \(\displaystyle \log_{3} (x+1) + \log_{x+1} 3 = \frac{10}{3} \):
Sia \(\displaystyle x > -1 \wedge x \neq 2 \),
\(\displaystyle \log_{3} (x+1) + \frac{\log_{3} 3}{\log_{3} (x+1)} = \frac{10}{3} \)
\(\displaystyle \log_{3} (x+1) + \frac{1}{\log_{3} (x+1)} = \frac{10}{3} \)
\(\displaystyle \log_{3}^{2} (x+1) + 1 = \frac{10}{3} \log_{3} (x+1) \)
Pongo \(\displaystyle t = log_{3} (x-1) \):
\(\displaystyle t^2 - \frac{10}{3}t + 1 = 0 \)
\(\displaystyle t = \frac{1}{3} \vee t = 3 \)
da cui:
\(\displaystyle x = \sqrt[3]{3}-1 \vee x = 26 \)
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Re: Equazione logaritmica

Messaggioda anto_zoolander » 26/08/2016, 13:27

L'errore l'hai fatto dal penultimo all'ultimo passaggio. Il cambio di base è corretto, ma poi non capisco che criterio applichi. La somma di logaritmi che hanno la stessa base è certamente un logaritmo che ha per base la stessa base e per argomento il prodotto degli argomenti, ma qui non hai una somma di logaritmi. Hai una somma tra un logaritmo e un quoziente tra logaritmi.

Una volta posto $x> -1$ puoi moltiplicare tutto per $log_3(x+1)$ ottenendo

$(log_3(x+1))^2+1=3/10log_3(x+1)$
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Re: Equazione logaritmica

Messaggioda davide.grb » 26/08/2016, 13:30

Attenzione: \(\displaystyle \frac{\log_{a}{b}}{\log_{a}{c}} \neq \log_{a}{\frac{b}{c}} \)
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Re: Equazione logaritmica

Messaggioda scudfr » 26/08/2016, 14:38

davide.grb ha scritto:Attenzione: \(\displaystyle \frac{\log_{a}{b}}{\log_{a}{c}} \neq \log_{a}{\frac{b}{c}} \)


Forse ho capito.. vi porto un altro esempio di un esercizio che non riesco a risolvere dove probabilmente commetto lo stesso errore.

$log^(1/4)log_16( (x^2-3)/x)=1$

Anche qui cambio base:

$(log^(1/4))(log( (x^2-3)/x)/log16)=1$

Che quindi diventa così, giusto?

$(log^(1/4))(log( (x^2-3)/x))=log16$

Se fin qui non ho fatto lo stesso errore di prima non so cosa posso aver sbagliato ma non riesco ad andare avanti.

$(log^(1/4))[(log (x^2-3)- logx)]-log16=0$
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Re: Equazione logaritmica

Messaggioda davide.grb » 29/08/2016, 12:41

Con \(\displaystyle \log a \) indichi \(\displaystyle \log_{10} a \) o \(\displaystyle \ln a \)? Sia \(\displaystyle \log a = \ln a \), ma la risoluzione dell'espressione non dovrebbe cambiare di molto.

\(\displaystyle \log^{\frac{1}{4}} \log_{16} \left( \frac{x^2-3}{x} \right) = 1 \)
con \(\displaystyle \hspace{0,25cm} x \neq 0 \hspace{0,25cm} \wedge \hspace{0,25cm} \frac{x^2-3}{x}>0 \hspace{0,25cm} \wedge \hspace{0,25cm} \log_{16} \left( \frac{x^2-3}{x} \right)>0 \)
da cui \(\displaystyle \hspace{0,25cm} \frac{1}{2}(1-\sqrt{13})<x<0 \hspace{0,25cm} \wedge \hspace{0,25cm} x>\frac{1}{2}(1+\sqrt{13}) \)

\(\displaystyle \log \log_{16} \left( \frac{x^2-3}{x} \right) = 1^4 = 1 \)

\(\displaystyle \log_{16} \left( \frac{x^2-3}{x} \right) = e^1 = e \)

\(\displaystyle \frac{x^2-3}{x} = 16^e \)

\(\displaystyle x^2 - 16^e x - 3 = 0 \)

\(\displaystyle x=-\frac{6}{k} \hspace{0,25cm} \vee \hspace{0,25cm} x = \frac{k}{2} \hspace{0,25cm} \) con \(\displaystyle \hspace{0,25cm} k = 16^e+\sqrt{12+256^e} \)
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Re: Equazione logaritmica

Messaggioda davide.grb » 29/08/2016, 12:44

scudfr ha scritto:
davide.grb ha scritto:Attenzione: \(\displaystyle \frac{\log_{a}{b}}{\log_{a}{c}} \neq \log_{a}{\frac{b}{c}} \)


Forse ho capito.. vi porto un altro esempio di un esercizio che non riesco a risolvere dove probabilmente commetto lo stesso errore.

$log^(1/4)log_16( (x^2-3)/x)=1$

Anche qui cambio base:

$(log^(1/4))(log( (x^2-3)/x)/log16)=1$

Che quindi diventa così, giusto?

$(log^(1/4))(log( (x^2-3)/x))=log16$

Se fin qui non ho fatto lo stesso errore di prima non so cosa posso aver sbagliato ma non riesco ad andare avanti.

$(log^(1/4))[(log (x^2-3)- logx)]-log16=0$


Errori non ne hai fatti, ma ti ho proposto un metodo risolutivo più efficace.
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Re: Equazione logaritmica

Messaggioda scudfr » 30/08/2016, 00:10

Grazie Davide! Come hai fatto a liberarti di $log^(1/4) $? Hai elevato tutto alla quarta? Così facendo non avresti dovuto elevare anche $log_16$?
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