Norma 2 di matrice

[vich]

Salve ragazzi, vorrei sapere se c'è un modo più comodo di calcolare la norma 2 di matrice magari sfruttando qualche proprietà visto che è abbastanza scomodo calcolare gli autovalori dall'equazione caratteristica. Se la matrice è quadrata gli autovalori della matrice e della simmetrica sono gli stessi da qui non si può sfruttare qualche proprietà sugli autovlori della matrice prodotto? Grazieee

[Raptorista]

https://it.wikipedia.org/wiki/Norma_mat ... ltre_norme

Che c'entrano gli autovalori?

[vich]

Per calcolarmi la norma 2 non devo calcolare gli autovalori della matrice A*At??

[Raptorista]

La pagina wiki dice che devi calcolare la traccia di \(A^t A\), giusto?

[vich]

Ah quindi nel caso della norma 2 il raggio spettrale di At*A equivale alla traccia sempre di At*A, senza relativo calcolo di autovalori?

[Raptorista]

Fai uno sforzo così grande ad aprire il collegamento che ti ho segnalato due messaggi fa?

[vich]

L'avevo aperta. Il mio messaggio era per avere una conferma..

[vict85]

Il metodo più rapido per calcolarla è fare la somma dei quadrato di tutti gli elementi della matrice e poi farne la radice quadrata. La scrittura con la trasposta ha una sua utilità ma non nel fare i calcoli. Tieni conto che fare il calcolo della matrice è una operazione \(O(n^3)\) e la traccia è \(O(n)\) quindi faresti \(O(n^3)\) calcoli invece dei \(O(n^2)\) necessari. Se preferisci puoi anche fare \(n\) prodotti scalari e sommarli tra di loro (ma è sostanzialmente la stessa cosa di sommare i quadrati degli elementi. Ovviamente la somma dei quadrati non è particolarmente robusta, quindi se sai di poter avere a che fare con una matrice con elementi molto grandi oppure molto piccoli dovresti tenerne conto nell'implementazione dell'algoritmo.

[vich]

Grazie per la risposta. Effettivamente è la via più rapida. Ma quella che stai calcolando tu non è la norma F(Frobenius)? Da wiki vedo che comunque è equivalente alla norma 2, ma nella pratica vedo che i valori che assumono sono leggermente differenti. Come mai?

[vict85]

Semplicemente perché ho confuso le due norme. Comunque nota che devi trovare l'autovalore più grande in valore assoluto, non hai bisogno di calcolarli tutti. Immagino che esistano metodi iterativi per farlo. A livello pratico è probabilmente sufficiente considerare altre norme.