Calcolo gradiente e cambio di variabili

[Robertazzo]

Buona sera, ho provato a risolvere questo esercizio tuttavia mi rimane qualche dubbio sul procedimento che ho seguito.

Dovrei calcolare il gradiente in (0,0) della funzione f: R^2 --> R differenziabile tale che f(x,x) = 0 e f(x,-x) = 2x.

1) Dato che l'andamento della funzione veniva fornita per le direzioni [1,1] e [1,-1] ortogonali tra loro ho calcolato le derivate direzionali in queste due direzioni, come se fossero le derivate parziali lungo le direzioni principali di un sistema di riferimento ruotato di -45° rispetto al sistema di riferimento iniziale.

Per la prima direzione la derivata direzionale mi risulta 0
Per la seconda direzione le derivata direzionale mi risultata 2

Ho interpretato questo risultato come il gradiente della funzione rispetto al sistema di riferimento ruotato, quindi grad'(0,0) = [0, 2]

2) Ho applicato il seguente cambio di variabili:

\[ x = x'cos\theta + y'sen\theta \]
\[ y = -x'sen\theta + y'cos\theta \]

Ho quindi calcolato lo jacobiano della matrice di trasformazione e l'ho utilizzato per trasformare il gradiente nel sistema di riferimento originario. Cioè:

\[ grad = (grad'^T \cdot J)^T \]

Come risultato ho ottenuto grad(0,0) = [-2sin(teta) , 2cos(teta)]

Ora, ho davvero qualche dubbio sul procedimento che ho eseguito, ma non mi venivano in mente altre idee. Qualcuno avrebb qualche suggerimento da darmi?

[Albe]

Per definizione di derivata direzionale e i tuoi conti hai che
\(
\displaystyle \nabla f(0,0) \cdot (1/\sqrt{2},1/\sqrt{2}) = 0, \quad \nabla f(0,0) \cdot (1/\sqrt{2},-1/\sqrt{2}) = 2
\)
se chiami \( \nabla f(0,0) = (a,b)\) ottieni il sistema di equazioni \(a+b=0\) e \(a-b = 2\sqrt{2}\). Risolvi e hai
\(
\displaystyle \nabla f(0,0) = (\sqrt{2},-\sqrt{2}).
\)
A prima vista hai avuto una sola svista alla fine, cioè ti sei dimenticato di sostituire \(\theta=-\pi/4\).

[Robertazzo]

Ciao, ti ringrazio. Ora è molto più chiaro.
Avevo qualche dubbio sull'ultimo passaggio, dove ho fatto la trasformazione del gradiente utilizzando un prodotto tra matrici, ma il cui risultato non mi convinceva.

Grazie ancora