Domande su Studio di Funzione...

[Jack933]

Buona sera vorrei chiedervi una cosa sul dominio dello studio di funzione. Allora la funzione in questione è: \( f(x) = \sqrt{e^{ \frac{x-3}{x^2 +x-2}}} \)

Allora vedo tre cose che mi interessano per il dominio; radice quadrata, esponenziale e frazione.
Per l'esponenziale non mi crea problemi di dominio, devo solo porre \( \begin{cases} e^{\frac{x-3}{x^2 +x-2}}≥0 \\ x^2+x-2≠0 \end{cases} \) ! Ora credo di aver posto le giuste condizioni però adesso ho problemi ad andare avanti. Per quanto riguarda \( e^{\frac{x-3}{x^2 +x-2}}≥0 \) essendo un'esponenziale credo che sia sempre ≥ 0 mentre per \( x^2+x-2≠0 \) cosa devo fargli? La riconduco a un'equazione e con la formula risolutiva trovo le due soluzioni? E poi? Insomma non so come andare avanti....

Altro dubbio con un altro dominio, questa volta la funzione è \( f(x)= \log (\sqrt[]{\frac{x-1}{3x^2+7x-6}} ) \) io devo porre queste condizioni \( \begin{cases} \sqrt[]{\frac{x-1}{3x^2+7x-6}}>0 \\ \frac{x-1}{3x^2+7x-6}≥0 \\ 3x^2+7x-6≠0 \end{cases} \) giusto? Ecco anche qua non saprei cosa fare, tipo la radice come la risolvo?

[Vulplasir]

L'esponenziale è giustamente sempre positivo, per quanto riguarda $x^2+x-1=0$ si tratta di una equazione di secondo grado...

Per quanto riguarda la seconda funzione, l'argomento di un logaritmo deve essere strettamente positivo, quindi deve essere:

$sqrt((x-1)/(3x^2+7x-6))>0$

Inoltre c'è anche un denominatore che deve essere diverso da zero:

$3x^2+7x-6!=0$

Per risolvere la radice ti ricordo che la radice di un numero è sempre positivo oppure zero, e vale zero solo quando l'argomento della radice vale zero...

[Jack933]

L'esponenziale è giustamente sempre positivo, per quanto riguarda $x^2+x-1=0$ si tratta di una equazione di secondo grado...

Per quanto riguarda la seconda funzione, l'argomento di un logaritmo deve essere strettamente positivo, quindi deve essere:

$sqrt((x-1)/(3x^2+7x-6))>0$

Inoltre c'è anche un denominatore che deve essere diverso da zero:

$3x^2+7x-6!=0$

Per risolvere la radice ti ricordo che la radice di un numero è sempre positivo oppure zero, e vale zero solo quando l'argomento della radice vale zero...

Allora per la prima funzione ci sono !

Per la seconda funzione quindi in poche parole ( se ho capito bene ) devo studiare soltanto \( \frac{x-1}{3x^2+7x-6}>0 \) perchè la radice può avere soltanto due risultati e per venire = 0 l'argomento della radice deve essere =0 quindi basta porre l'argomento maggiore di 0. Però già ho questa condizione e quindi mi studio quella sopra citata appunto. Però non capisco, nella prima funzione il denominatore della funzione diverso da 0 è stato considerato, mentre qua no perchè? Perchè mi studio tutta la frazione e non ce n'è bisogno?

[Vulplasir]

Però non capisco, nella prima funzione il denominatore della funzione diverso da 0 è stato considerato, mentre qua no perchè? Perchè mi studio tutta la frazione e non ce n'è bisogno?

Non ho capito quale sia il tuo dubbio

[@melia]

Però non capisco, nella prima funzione il denominatore della funzione diverso da 0 è stato considerato, mentre qua no perchè? Perchè mi studio tutta la frazione e non ce n'è bisogno?

Nella prima funzione dovevi studiare solo quello, nella seconda mentre risolvi lo studio del segno della frazione, implicitamente imponi anche al denominatore di essere diverso da zero, quindi non serve scriverlo di nuovo.

[Jack933]

Però non capisco, nella prima funzione il denominatore della funzione diverso da 0 è stato considerato, mentre qua no perchè? Perchè mi studio tutta la frazione e non ce n'è bisogno?

Non ho capito quale sia il tuo dubbio

@melia Nella prima funzione dovevi studiare solo quello, nella seconda mentre risolvi lo studio del segno della frazione, implicitamente imponi anche al denominatore di essere diverso da zero, quindi non serve scriverlo di nuovo.

Ah ecco ora ho capito grazie ! Ok poi andando avanti nello studio di funzione ( della prima funzione con l'esponenziale per intenderci ) quando calcolo i limiti ho questi risultati:
$ lim_(x -> -2^+)f(x)=+oo

lim_(x -> 1^-)f(x)=+oo

lim_(x -> -2^-)f(x)=0


lim_(x -> 1^+)f(x)=0 $

Mentre i limiti che di x che tende a più o meno $ oo $ vengono 1 quindi abbiamo un asintoto orizzontale y=1.
Ora primi due limiti da me citati che vengono $ +oo $ sono due asintoti verticali, io non ho capito cosa sono gli altri due limiti che vengono 0 e sopratutto come si disegnano sul grafico ??

[Jack933]

Ho anche un altro dubbio, mi sono calcolato la derivata di uno studio di funzione e mi viene \( f'(x) = -e^{\frac{x}{x-1}} \frac{x^2-x+1}{x^2(x-1)^2} \) ora devo porre f'(x)>0 ma come studio una disequazione del genere? Non so da dove iniziare so solo che sull'esercizio guidato mette che f'(x) > 0 non è MAI verificata... E quindi cosa ne deduco? E come faccio a vedere che non è mai verificata? Io ragionando direi che l'esponenziale non devo calcolarlo il denominatore della frazione che moltiplico per l'esponenziale non lo considero perchè è alla seconda, quindi devo calcolarmi solo \( x^2-x+1>0 \) ?? Ditemi voi se ho ragionato male...