Serie con valore atteso di una probabilità facile

[.Ruben.]

Sia $r_{n}$ una variabile casuale che assume uno dei valori $ { 2,0,1,6 }$ con uguale probabilità per ogni numero naturale n

Calcolare:
$E(\sum_{n=1}^{\infty} r_{n}/{10^{n}} )$

Dove E(x) è il valore atteso della quantità x

[kobeilprofeta]

Testo nascosto, fai click qui per vederlo

$1/4*[\sum 9/(10^n)] =9/4*frac {1}{1-1/10}=5/2$

[.Ruben.]

Errore di calcolo:
$E(\sum_{n=1}^{\infty} r_{n}/{10^n} ) = \sum_{n=1}^{\infty}(E(r_{n}))/{10^n} = 9/4 \sum_{n=1}^{\infty} 1/{10^n} = 9/4 (1/{1-1/10} - 1) = 9/4 ( 10/9 -1) = 1/4 $

Infatti $\sum_{n=0}^{\infty} 1/{a^n} = 1/(1-a)$

[kobeilprofeta]

non avevo notato l'1 al pedice

[.Ruben.]

Non preoccuparti

[kobeilprofeta]

[Erasmus_First]

Errore di calcolo: [...]

Testo nascosto, fai click qui per vederlo

Non ho capito.
Intendi dire che sarebbe un errore di calcolo fare come segue la frase che ho citato, oppure che l'errore di calcolo l'ha fatto kobeilprofeta?
Comunque, il risultato giusto è 5/2 (come appunto leggo nel primo intervento di kobeilprofeta), che risulta come 2,4(9) ["Due-virgola-quattro_nove-periodico"].
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In pratica, dopo n estrazioni viene il numero decimale
$r_0,r_1r_2r_3...r_k...r_(n-1)$
in cui ciascuna delle n cifre $r_k$ [con k da 0 a $n-1$ compresi] può essere 0, 1, 2 o 6 con uguale probabilità 1/4.
Il valore atteso del numero decimale (per la proprietà associativa della somma) è quello del numero in cui ciascuna cifra ha valore atteso
(0 + 1 + 2 + 6)/4 = 9/4 = 2,25.
Il valore atteso del numero-somma dopo infinite estrazioni è dunque:
$9/4·(1 + 1/10 + 1/100 + 1/1000 + ...) = 9/4 · 10/9 = 10/4 = 5/2$.
Ossia:
2,2500000 ... +
0,2250000 ... +
0,0225000 ... +
0,0022500 ... +
0,0002250 ... +
0,0000225 ... +
....
––––––––––––––– =
2,499999 ... = 2,5 = 5/2.