Esercizio Serie di Taylor

[master94ga]

Salve a tutti, sono nuovo del forum e mi sto preparando per l'esame di analisi 2. Esercitandomi sulle serie sono arrivato in un esercizio che mi ha messo in difficoltà.

L'esercizio è questo:
Data la funzione: \(\displaystyle f(x)=\frac{1}{1+x}\)
determinarne la serie di Taylor con centro in x0 = 0, specificandone gli
insiemi di convergenza puntuale, assoluta e uniforme.

Se qualcuno sarebbe così gentile da poterlo svolgere e spiegare le parti più importanti ne sarei veramente grato, grazie!

[Raptorista]

Se qualcuno sarebbe così gentile da poterlo svolgere e spiegare le parti più importanti ne sarei veramente grato, grazie!

È molto meglio se tu mostri il tuo svolgimento e noi lo commentiamo.

[master94ga]

Se qualcuno sarebbe così gentile da poterlo svolgere e spiegare le parti più importanti ne sarei veramente grato, grazie!

È molto meglio se tu mostri il tuo svolgimento e noi lo commentiamo.

Il problema è che non ho mai fatto esercizi simili e quindi ho difficoltà ad iniziare.
Comunque ho notato che la funzione \(\displaystyle f(x)=\frac{1}{1+x}\) è molto simile alla funzione somma della serie geometrica, l'unica cosa che cambia è il denominatore che è ; \(\displaystyle f(x)=\frac{1}{1-x}\).
Quindi penso che in qualche modo devo ricondurre la mia serie a una serie geometrica in modo da poter usare le sue proprietà per trovare la convergenza.

[Raptorista]

Io, ad occhio, proverei con la derivazione per serie.

[master94ga]

Io, ad occhio, proverei con la derivazione per serie.

Ragionando un pò sono arrivato alla conclusione che basta moltiplicare \(\displaystyle f(x)=\frac{1}{1+x}\) con \(\displaystyle -1\) per ricondurmi alla serie geometrica.
E quindi avrò che \(\displaystyle f(x)=\frac{1}{1+x}=\sum_{n=0}^\infty (-1)^n x^n\) per ogni \(\displaystyle |x|<1\)

Quindi l'intervallo di convergenza puntuale ed uniforme della serie dovrebbe essere \(\displaystyle (-1, 1)\)

Poi ho studiato gli estremi \(\displaystyle x=-1, x=1 \) ed ho visto che entrame le serie divergono, quindi \(\displaystyle ]-1, 1[\) è l'insieme di convergenza assoluta.

E' giusto quello che ho fatto o ho combinato un pasticcio?

[Raptorista]

Ragionando un pò sono arrivato alla conclusione che basta moltiplicare \(\displaystyle f(x)=\frac{1}{1+x}\) con \(\displaystyle -1\) per ricondurmi alla serie geometrica.

Sono curioso di vedere i dettagli di questo ragionamento.

[Raptorista]

Comunque il risultato che hai ottenuto è lo stesso che ho ottenuto io col metodo che ti ho suggerito, solo che non mi è chiaro come ci sia arrivato tu. Delucidazioni?

[master94ga]

Ragionando un pò sono arrivato alla conclusione che basta moltiplicare \(\displaystyle f(x)=\frac{1}{1+x}\) con \(\displaystyle -1\) per ricondurmi alla serie geometrica.

Sono curioso di vedere i dettagli di questo ragionamento.

Non c'è nessun particolare ragionamento sotto, semplicemente ho visto la somiglianza tra la funzione dell'esercizio e la funzione somma della serie geometrica e ho pensato ad un modo per ottenere la funzione somma della serie geometrica con la mia funzione di partenza. Quindi ho pensanto si potesse moltiplicare per -1.
Probabilmente è un metodo approssimativo e ho avuto anche fortuna...

Potresti spiegarmi come hai fatto tu? Il teorema di derivazione per serie lo conosco ma non so come applicarlo ad un esercizio.

[Raptorista]

Non c'è nessun particolare ragionamento sotto, semplicemente ho visto la somiglianza tra la funzione dell'esercizio e la funzione somma della serie geometrica e ho pensato ad un modo per ottenere la funzione somma della serie geometrica con la mia funzione di partenza. Quindi ho pensanto si potesse moltiplicare per -1.

La somma della serie geometrica è \(\frac 1 {1-x}\), mentre cambiando segno alla tua funzione di partenza ottieni \(-\frac 1 {1+x}\), che non sono la stessa cosa. Scrivi i tuoi passaggi.

Il mio ragionamento è il seguente
\[
\frac 1 {1+x} = D_x(\ln(1+x)) = D_x \left( \sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n-1}}{n}x^n\right) = \sum_{n=1}^\infty (-1)^{n-1}x^{n-1} = \sum_{n=0}^\infty (-1)^{n}x^{n}.
\]