Parametrizzazione dominio

[Enri93]

Buongiorno a tutti, sono alle prese con un integrale curvilineo. E' tra i primi che faccio e ho qualche problema nella parametrizzazione. Questo è l'esercizio:

Calcolare l'integrale curvilineo \(\displaystyle \int_\gamma \frac{x}{x-y+2} ds\), dove \(\displaystyle \gamma=Fr E \) essendo \(\displaystyle E= { (x,y)\in \mathbb{R}^2 : x\geq 0, 0\leq y \leq x, x^2+y^2\leq 4 } \)

Questo è il dominio



Non ho problemi a parametrizzare \(\displaystyle \gamma_2 \) e \(\displaystyle \gamma_3 \), utilizzo infatti le parametrizzazioni del segmento di estremi (0,0) e (2,0) (per \(\displaystyle \gamma_2 \)) e della circonferenza di centro 0 e raggio 2 (per \(\displaystyle \gamma_3 \)). Per quanto riguarda \(\displaystyle \gamma_1 \) come posso risolvere? Perchè ho solo il punto di partenza del segmento, non quello esatto di arrivo.

Grazie anticipatamente per l'aiuto

[Raptorista]

ho solo il punto di partenza del segmento, non quello esatto di arrivo.

Sì che ce l'hai:

\(0\leq y \leq x\)

[Enri93]

ho solo il punto di partenza del segmento, non quello esatto di arrivo.

Sì che ce l'hai:

\(0\leq y \leq x\)

Potrebbe essere\(\displaystyle x=t, y=t \) con \(\displaystyle \ t\in [0,x] \). E' possibile? L'intervallo non mi convince molto

[Raptorista]

L'intervallo non può dipendere da \(x\)! Guarda che il punto di intersezione tra la circonferenza e la retta lo puoi trovare analiticamente, non è così difficile.

[Enri93]

L'intervallo non può dipendere da \(x\)! Guarda che il punto di intersezione tra la circonferenza e la retta lo puoi trovare analiticamente, non è così difficile.

Hai ragione, ho detto una super cavolata!

Provo a ricavare il punto impostando il seguente sistema:

\(\displaystyle \{y=x,
y^2+x^2=4 \)

Risolvendo ottengo i due punti di intersezione \(\displaystyle (-√2,-√2) \) e \(\displaystyle (√2,√2) \). Ovviamente quello relativo al mio dominio sarà \(\displaystyle (√2,√2) \), per cui \(\displaystyle t\in[0,√2] \). Giusto così?

[Raptorista]

Sì, ma attento al verso di percorrenza dei lati.

[Enri93]

Sì, ma attento al verso di percorrenza dei lati.

So che devo valutare le curve in senso orario...comunque provo a svolgerlo e ti mando la soluzione. Grazie per la dritta!

[Enri93]

Ecco la risoluzione finale:

Intanto parametrizzo le 3 curve

\(\displaystyle ^- \gamma_1 = \begin{cases}
x=t \\ y=t

\end{cases} t=[0,√2]\)

\(\displaystyle \gamma_2 = \begin{cases}
x=2t \\ y=0

\end{cases} t=[0,1]\)

\(\displaystyle \gamma_3 = \begin{cases}
x=2cos(t) \\ y=2sin(t)

\end{cases} t=[0,\frac{\pi}{4}]\)

Quindi

\(\displaystyle \int_\gamma \frac{x}{x-y+2} ds = \int_{0}^{1} \frac{2t}{2t+2} dt + \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \frac{2cos(t)}{2cos(t)-2sin(t)+2}dt - \int_{0}^{√2} \frac{t}{2}dt \)

Risolvo separatamente i 3 integrali. Ottengo il seguente risultato \(\displaystyle 1-ln(2)+\frac{\pi}{8}-ln(cos(\frac{\pi}{8})-\frac{1}{2}=0.278 \)

E' corretto lo svolgimento?

[Enri93]

Ho dimenticato di sottolineare che ho considerato le 3 curve percorse in senso antiorario, per questo il - davanti a \(\displaystyle \gamma_1 \)

[Raptorista]

Non ho letto con troppa attenzione ma mi sembra corretto