Molla con carrello accelerato

Messaggioda feddy » 27/08/2016, 11:33

Testo:
Un corpo puntiforme di massa $ m = 4 kg$ si trova in equilibrio statico sul pianale liscio di un carrello ad una distanza $d = 0.9 m$ dall’estremità libera di una molla ideale, disposta in configurazione orizzontale e avente l’altra estremità vincolata al punto O solidale al carrello.
Il carrello è a sua volta in quiete sul piano orizzontale e la molla ha costante elastica $k = 196 Nm−1$ lunghezza a riposo $l_0 = 0.5 m.$
Ad un certo istante il carrello viene messo in moto sul piano orizzontale verso destra con accelerazione di modulo costante $a_0 = 3.2 m/s^2 $.
Assumendo come istante t = 0 quello di impatto fra il corpo e l’estremità
libera della molla, determinare nel sistema di riferimento Oxy, solidale al carrello:
a) la velocità della massa m nell’istante di impatto contro l’estremità libera della molla;
b) il diagramma di tutte le forze (vere e fittizie) agenti sul corpo all’istante t = 0+;
c) l’equazione del moto del corpo per t > 0, nell’ipotesi che dopo l’urto il blocco rimanga attaccato alla
molla;
d) la posizione di equilibrio del corpo per t > 0;
e) la legge oraria del moto del corpo per t > 0, considerando la sua posizione e velocità all’istante t = 0;
f) la compressione massima della molla per t > 0.

IMMAGINE: Immagine


SOL.:

a)
$ { ( z(t)=d-1/2at^2 ),( v(t)=-at ):} $

da cui ricavo $ t=sqrt((2d)/a)= 2.48 s $ e $v~= 8m/s$

b)
Nel sistema di riferimento solidale al carrello, al momento di aggancio della massa con la molla, le forze agenti sono la forza elastica, e la forza apparente $F_t=-mveca_0$, che compare perché siamo nel sistema accelerato.

$ ma'=sumvecF_i -mveca_o $


c)
l'eqauzione del moto diventa, in base a quello scritto sopra: $ ma' + kDeltax = -ma_o $

d),e)
Ponendo $Deltax= chi$, $ ddotchi + w^2chi=-ma_o $ , con $w=k/m.$

La posizione d'equilibrio è data dalla soluzione particolare $chi=(-ma_o)/k=-0.06 m$

la soluzione è data dalla sol. dell'omogenea associata più una soluzione particolare, e dalle condizioni iniziali ricavo che la soluzione generale è $ chi(t)= ((ma_o)/k+l_o) cos(wt) - (ma_0)/k $ .

f)
Per la compressione massima ho ragionato così: quando è compressa, si inverte il suo moto, pertanto la velocità deve essere nulla nell'istante in cui è totalmente compressa.

Ho quindi derivato la soluzione generale di prima imponendo $ dotchi(t)=0 $ .

$ dotchi(t)=-w((ma_0)/k+l_0)sen(wt)=0 $ , da cui trovo $wt=kpi$ e per $k=1$ trovo il tempo di compressione massimo $t_c=pi/w=0.45 s$.


Può essere corretto ?
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Re: Molla con carrello accelerato

Messaggioda Rinozz » 28/08/2016, 08:40

Nel punto a mi risulta $ t = 0,75$ e $v = 2,4$.
Nel punto b che operano sulle forse c'è anche la forza peso compensata dalla reazione del tavolo.
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Re: Molla con carrello accelerato

Messaggioda feddy » 28/08/2016, 10:50

a) Corretto, è proprio $sqrt(2d/a)$, devo aver commesso un errore con la calcolatrice.

b) hai ragione, mi sono dimenticato di aggiungerle. Il resto come ti sembra?

grazie mille :)
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Re: Molla con carrello accelerato

Messaggioda Rinozz » 28/08/2016, 16:09

Nel resto del ragionamento non riesco a seguirti. potresti spiegarti meglio?
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Re: Molla con carrello accelerato

Messaggioda feddy » 29/08/2016, 09:47

Ho scritto l'equazione differenziale del moto e l'ho risolta (ottenendo così la legge oraria del corpo) ponendo $chi=Deltax$.

Per la compressione massima mi pare di essermi spiegato chiaramente, ossia quando è compressa la velocità è 0 e da l' ho ricavato il tempo
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Re: Molla con carrello accelerato

Messaggioda Rinozz » 30/08/2016, 23:05

Per quanto riguarda la posizione di equilibrio mi sembra corretto il ragionamento solo che il segno della posizione a me risulta positivo. Se come origine prendiamo il punto in cui è attaccata la molla.
Non riesco a seguirti nell'impostazione della soluzione generale del l'equazione differenziale ma forse è un mio baco sulle equazioni differenziali. Per quello ti chiedevo di esplicitare meglio il ragionamento.
Sull'ultimo punto anche a me sembra corretto il ragionamento
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Re: Molla con carrello accelerato

Messaggioda feddy » 31/08/2016, 13:29

Ok, intanto grazie per la risposta... in ogni caso, ho sostituito con $a$ il termine $ddotchi$... in poche parole ho riscritto la legge di Newton in termini di deformazione della molla, ottenendo così un'equazione differenziale del secondo ordine a coefficienti costanti e l'ho risolta applicando il principio di sovrapposizione.

Ossia, l'integrale generale è dato dalla sol. dell'omogenea associata (che in questo caso è nota ed è $Asen(wt+phi)$ con $A$ e $phi$ che si determinano dalle condizioni iniziali ) e una sol. particolare (ottenuta imponendo $ddotchi =0$).
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