Minimo di una funzione in tre variabili

[cesare1]

Ciao,
ho da poco iniziato a fare esercizi su problemi di minimo in più variabili e mi sono imbattuto su questo problema. Premetto che il problema richiede unicamente di trovare il minimo assoluto, quindi non va studiata l'hessiana. Riporto qui il testo del problema:

Determinare, se esiste, min f in C

dove

$C={(x,y,z) in RR^3 : 4(x^2 + y^2) ≤ z^2 , 0 ≤ z ≤ 1}$

e

$f(x,y,z)=x(z-1/2)^2$



Grazie mille

[anonymous_0b37e9]

Premetto che il problema richiede unicamente di trovare il minimo assoluto, quindi non va studiata l'hessiana.

Per quale motivo?

[cesare1]

Premetto che il problema richiede unicamente di trovare il minimo assoluto, quindi non va studiata l'hessiana.

Per quale motivo?

Perché dei candidati(punti stazionari) che trovo studiando interno e bordo, basta che calcolo il valore della funzione in quei punti e prendo il valore più basso

[anonymous_0b37e9]

Hai ragione, se non devi classificarli esplicitamente. Immagino che tu abbia dei problemi sul bordo. Quale metodo sei solito usare?

P.S.
Eviterei di chiamare "punti stazionari" quelli sul bordo.

[cesare1]

Sinceramente ho problemi anche sull'interno perché ponendo il gradiente della funzione uguale a zero, l'unico candidato che mi esce è $A=(x,0,1/2)$ e non mi convince molto.

Per il bordo ho considerato la funzione $F=4(x^2 + y^2) -z^2=0$
Innanzitutto, essendo la funzione F differenziabile, ho calcolato la Jacobiana di F e cercato per quali valori essa non avesse rango massimo trovando così un secondo candidato: $B=(0,0,0)$
Dopodiché per trovare i restanti candidati ho risolto il sistema con le seguenti equazioni in x,y,z,a
$F(x,y,z)=0$ e $\nabla f=a \nabla F(x,y,z))$

e ho trovato gli altri candidati:

$D={(x,y,z) in RR^3 : z=1/2 , 4x^2 + 4y^2 = z}$
$E={(x,y,z) in RR^3 : y=0 , 4x^2 - z^2 = 0}$

Io ho pensato di risolvere il problema come se l'insieme non fosse limitato su z, e dopo andare ad escludere i candidati che non obbedissero alla condizione su z del dominio, ma non so se sia la strategia corretta

[anonymous_0b37e9]

Veramente, i punti stazionari interni sono:

$(x,y,1/2) ^^ [x^2+y^2<1/16]$

Tuttavia:

$[f(x,y,1/2)=0]$

Non ti rimane che studiare il bordo. Il vertice del cono deve essere valutato separatamente:

$[f(0,0,0)=0]$

Per quanto riguarda il resto, ti consiglio il metodo dei moltiplicatori di Lagrange sui seguenti insiemi:

Insieme 1 (superficie, 1 moltiplicatore $\lambda$): $[4(x^2 + y^2)=z^2] ^^ [0<z<1]$

Insieme 2 (superficie, 1 moltiplicatore $\lambda$): $[z=1] ^^ [x^2+y^2<1/4]$

Insieme 3 (curva, 2 moltiplicatori $\lambda$ e $\mu$): $[z=1] ^^ [x^2+y^2=1/4]$

P.S.
Si potrebbe tentare anche con il metodo della restrizione, non so se lo conosci.

[cesare1]

Come hai fatto a trovare quei punti interni?

Si in effetti dividere il bordo del cono in 3 insiemi mi sembra ragionevole, adesso provo. Non mi è molto chiaro come usare il metodo dei moltiplicatori di Lagrange sul secondo insieme, ma ora provo.

[anonymous_0b37e9]

Come hai fatto a trovare quei punti interni?

$[f(x,y,z)=x(z-1/2)^2] rarr \{((delf)/(delx)=(z-1/2)^2),((delf)/(dely)=0),((delf)/(delz)=2x(z-1/2)):}$

$\{((delf)/(delx)=0),((delf)/(dely)=0),((delf)/(delz)=0):} rarr \{((z-1/2)^2=0),(0=0),(2x(z-1/2)=0):} rarr \{(z=1/2),(x=0 vv z=1/2):} rarr \{(x=\alpha),(y=\beta),(z=1/2):} ^^ [\alpha^2+\beta^2<1/16]$

[cesare1]

Ok grazie mille.

Comunque ho usato il metodo dei moltiplicatori di Lagrange sull'insieme 1 e 3 e mi escono i seguenti sistemi:
$4x^2 +4y^2 -z^2 =0$
$a8x=(z-1/2)^2$
$0=a8y$
$2x(z-1/2)=-2za$

da cui mi escono le seguenti soluzioni:
$A=(-1/12,0,1/6) B={(x,y,z) : 4x^2 + 4y^2 = 1/4} $

Mentre il sistema 3:
$x^2 + y^2 = 1/4$
$z-1=0$
$(z-1/2)^2=a2x$
$0=a2y$
$2x(z-1/2)=b$

da cui ricavo $C=(1/2,0,1) D=(-1/2,0,1)$

[cesare1]

L'insieme 2 non lo considero già con l'interno? perché io vado a cercare i punti stazionari sull'interno di C ma considerandolo senza la limitazione su z, che considero solo dopo sui punti trovati, escludendo gli eventuali punti con z non compreso tra 0 e 1.